Réponse :
soit la fonction f définie sur R par, f(x) = 4 - x²
1) déterminer la fonction dérivée de f, puis les nombres dérivés f '(-2) , f '(0) puis f '(1)
la fonction dérivée de f est f '(x) = - 2 x
le nombre dérivé f '(a) = lim [f(a+h) - f(a)]/h
h→0
or f '(-2) = lim [f(-2 + h) - f(-2)]/h = lim (-h²+4 h)/h = lim (4 - h) = 4
h→0 h→0 h→0
f(- 2 + h) = 4 - (- 2+h)²
= 4 - (h²-4 h + 4)
= 4 - h² + 4 h - 4
= - h² + 4 h
f(- 2) = 4 - (-2)² = 0
f '(0) = lim (f(h) - f(0))/h = lim ((4 -h²) - 4)/h = lim (- h) = 0
h→0 h→0 h→0
f '(1) = lim [f(1+h) - f(1)]/h = lim (- 2h - h²)/h = lim(- 2 - h) = - 2
h→0 h→0 h→0
f(1+h) = 4 - (1+h)²
= 4 -(1 +2 h + h²)
= 4 - 1 - 2 h - h²
= 3 - 2 h - h²
f(1) = 3
2) déterminer les équations réduites des tangentes à la courbe aux points d'abscisses - 2 ; 0 puis 1
L'équation de la tangente au point d'abscisse a s'écrit :
y = f(a) + f '(a)(x-a)
a) au point d'abscisse - 2
f '(- 2) = 4
f(-2) = 0
y = f(-2) + f '(-2)(x + 2)
= 0 + 4(x +2)
= 4 x + 8
Donc l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse - 2 est : y = 4 x + 8
b) au point d'abscisse 0
f '(0) = 0
f(0) = 4
y = f(0) + f '(0)(x - 0)
= 4 + 0
donc y = 4
c) au point d'abscisse 1
f '(1) = - 2
f (1) = 3
y = f(1) + f '(1)(x-1)
= 3 - 2(x-1)
= 3 - 2 x + 2
= - 2 x + 5
Donc y = - 2 x + 5
3) je vous laisse faire le graphe
Explications étape par étape
