1. L'équation [tex](E)[/tex] est de la forme [tex]y''+\omega^2 y=0[/tex] avec [tex]\omega^2=1,21\times 10^8[/tex], donc [tex]\omega=\sqrt{1,21\times 10^8}=1,1\times 10^4=11000[/tex] convient.
Ainsi, les solutions de [tex](E)[/tex] sont de la forme [tex]y(t)=A\cos(11000t)+B\sin(11000t)[/tex] où [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont deux nombres réels.
2. Si [tex]q[/tex] est solution de [tex](E)[/tex], alors [tex]q(0)=A\cos(0)+B\sin(0)=A[/tex] et [tex]q'(t)=-11000A\sin(11000t)+11000B\cos(11000t)[/tex], d'où [tex]q'(0)=-11000A\sin(0)+11000B\cos(0)=11000B[/tex].
Ainsi, si [tex]q(0)=2\times 10^{-6}[/tex] et [tex]q'(0)=0[/tex], on a [tex]A=2\times 10^{-6}[/tex] et [tex]B=0[/tex], d'où [tex]q(t)=2\times 10^{-6}\cos(11000t)[/tex] pour tout [tex]t[/tex].
3. Je suppose que la bonne condition est [tex]i(0)=0[/tex] et pas [tex]i(t)=0[/tex], ce qui n'a pas de sens. Les primitives de [tex]q[/tex] sont de la forme [tex]i(t)=\dfrac{2\times 10^{-6}}{1,1\times 10^4}\sin(11000t)+C=\dfrac{2}{11}\times 10^{-9}\sin(11000t)+C[/tex], où [tex]C[/tex] est un nombre réel.
La condition sur [tex]i[/tex] nous donne [tex]i(0)=\dfrac{2}{11}\times 10^{-9}\sin(0)+C=C=0[/tex], donc [tex]i(t)=\dfrac{2}{11}\times 10^{-9}\sin(11000t)[/tex] pour tout [tex]t[/tex]