Bonjour,
Ouah, l'exo n'est vraiment pas évident pour un lycéen (c'est faisable mais ça ressemble plus à un exo de prépa)...
Réponse :
1a) [tex]n^2+1-(n-1)(n+1)=2[/tex] et le membre de gauche est divisible par d, donc d divise 2, donc vaut 1 ou 2.
- Si n est impair, alors [tex]n+1[/tex] et [tex]n^2+1[/tex] sont pairs, donc d divise 2, donc d=2.
- Sinon, 2 ne divise pas d donc d=1.
1b) Supposons que [tex]n^2+1=m^2[/tex]. Alors [tex]1=m^2-n^2=(m-n)(m+n)[/tex] et donc [tex]m-n=m+n=1[/tex]. Donc en simplifiant par m, on a n=0, ce qui contredit [tex]n\in\mathbb{N}^*[/tex].
2a)
- Si c est un diviseur de a et de [tex]b^2[/tex], alors c est premier avec b puisqu'il divise a. Donc par le théorème de Gauss, comme c divise [tex]b^2[/tex], c divise b, donc c = 1. Donc [tex]a\wedge b^2=1[/tex].
- Le théorème de Gauss montre que a divise n+1, donc [tex]a\leq n+1[/tex] et [tex]b^2[/tex] divise [tex]n^2+1[/tex], donc [tex]b^2\leq n^2+1[/tex]. De plus, 1b) montre que [tex]b^2\neq n^2+1[/tex] (donc [tex]a\neq n+1[/tex]), donc que [tex]b^2\leq n^2[/tex] (donc [tex]a\leq n[/tex]). Ainsi, [tex]a\leq n,\ b\leq n[/tex].
2b) Supposons le contraire. D'après 1a), [tex](n^2+1)\wedge (n+1)=1[/tex] donc par le théorème de Gauss et 2a), n+1 divise a (même n+1=a), ce qui contredit [tex]a\leq n[/tex].
2c) En remplaçant dans l'égalité et en simplifiant par 2, on a [tex]ap=b^2q[/tex]. Comme [tex]a\wedge b^2=1,\ p\wedge q =1[/tex], le théorème de Gauss montre que a divise q et q divise a, donc [tex]a=q[/tex]. De même, [tex]p=b^2[/tex].
2d) On a 3 équations à 3 inconnues: [tex]n^2+1=2b^2,\ n+1=2a,\ b=a+1[/tex] donc après résolution, on a a=4, b=5, n=7.
Explications étape par étape
1a) On effectue une division euclidienne de [tex]n^2+1[/tex] par [tex]n+1[/tex] pour obtenir le résultat (c'est en fait l'algorithme d'Euclide pour trouver le pgcd).
1b) Le seul diviseur positif de 1 est lui-même.
2a) Si c n'est pas premier avec b, alors [tex]c\wedge b[/tex] est un diviseur commun à a et b différent de 1, ce qui contredit [tex]a\wedge b=1[/tex]. Ensuite, quand on obtient que c divise b, l'idée est que c est un diviseur commun à a et b, donc [tex]1\leq c\leq a\wedge b=1[/tex], donc c=1.
2b) Le n+1=a vient du fait que l'on puisse appliquer le théorème de Gauss avec a et [tex]b^2[/tex], ce qui donne a divise n+1. Comme n+1 divise aussi a, on a égalité.
2c) Même idée que 2b).
2d) Il faut faire les calculs. Si je numérote les équations de (1) à (3), avec (2) et (3) tu trouves n=2b-3 et en passant au carré et avec (1) tu as [tex]b^2-6b+5=(b-1)(b-5)=0[/tex]. Et b=1 donne a=0 ce qui est impossible, donc b=5. Donc n=2b-3=7 et a=b-1=4.
