1) si x = 0 on ne peut pas faire de boîte, il n'y a rien pour faire les bords
si x = 5
(5 + 5 = 10) toute la largeur est prise, il n'y a plus de fond
d'où 0 < x < 5
2) pour fabriquer la boîte il faut découper les 4 coins et remonter les bords
a)
une fois la boîte construite c'est un pavé de dimensions
largeur : l = 10 - 2x
longueur : L = 16 - 2x
hauteur ; h = x
son volume est : L x l x h
V(x) = (10 - 2x)(16 - 2x)x
b) on développe
(10*16 - 10*2x -2x*16 + 2x*2x) x =
(160 -20x -32x + 4x²) x =
160 -52x + 4x²) x =
160x - 52x² + 4x³
3)
V(x) = 4x³ - 52x² + 160x
V'(x) = 12x² - 104x + 160
V'(x) = 4( 3x² - 26x + 40)
racines du trinôme 3x² - 26x + 40
∆ = 196 les racines sont 2 et 20/3
tableau
x 0 2 5 20/3
V'(x) + 0 - |
V(x) croît décroît
le maximum est atteint pour x = 2
on a alors
largeur : l = 10 - 2x l = 6
longueur : L = 16 - 2x L = 12
hauteur ; h = x h = 2
V = 6 x 12 x 2 = 144 cm³
