Réponse :
1) démontrer que les coordonnées de D sont (7/2 ; 3)
D(x ; y) milieu de (AB) ⇒ x = (xb + xa)/2 = (6+1)/2 = 7/2
y = (yb + ya)/2 = (2+4)/2 = 6/2 = 3
⇒ donc les coordonnées de D sont (7/2 ; 3)
2) déterminer les équations des trois médianes du triangle ABC
La médiane CD a pour équation y = a x + b
a : coefficient directeur = Δy/Δx = (3 - 0)/(7/2-2) = 3/3/2 = 2
y = 2 x + b
0 = 2*2 + b ⇒ b = - 4
l'équation de la médiane (CD) est : y = 2 x - 4
l'équation de la médiane (AE) est : y = a x + b
a = (1 - 4)/(4 - 1) = - 3/3 = - 1
y = - x + b
1 = - 4 + b ⇒ b = 5
L'équation de la médiane (AE) est : y = - x + 5
L'équation de la médiane (BF) est : y = a x + b
a = (2 - 2)/(3/2 - 6) = 0
L'équation de la médiane (BF) est : y = 2
3) on note I le point d'intersection des droites (AE) et (BF)
a) déterminer par le calcul les coordonnées du point I
(AE) : y = - x + 5
(BF) : y = 2
- x + 5 = 2 ⇒ x = 5 - 2 = 3
les coordonnées du point d'intersection I sont : (3 ; 2)
b) vérifier graphiquement la question précédente
après avoir placer tous les points dans le repère orthonormé, et le triangle ABC on constate
que le point I de concours de (AE) et (BF) ont pour coordonnées (3 ; 2)
4) en déduire que ces trois médianes sont concourantes
puisque (AE) et (BF) ont pour point d'intersection I(3 ; 2)
on cherche les coordonnées du point d'intersection de (CD) et (BF)
(CD) : y = 2 x - 4
(BF) : y = 2
2 x - 4 = 2 ⇔ 2 x = 6 ⇒ x = 6/2 = 3
Donc le point d'intersection de (CD) et (BF) a pour coordonnées (3 ; 2)
les médianes (AE) ; ( CD) et (BF) passent par le point I(3; 2) donc les trois médianes sont concourantes
Explications étape par étape