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Réponse :
1) U1 = U0/(1+2U0) = 1/3
U2 = U1/(1+2U1) = 1/3/3/5 = 1/5
U1 - U0 = 1/3 - 1 = - 2/3
U2 - U1 = 1/5 - 1/3 = - 2/15
U n'est pas arithmétique
U1/U0 = 1/3/1 = 1/3
U2/U1 = 1/5/1/3 = 3/5
U n'est pas géométrique
2) montrer que si Un ≠ 0 alors Un+1 ≠ 0
on peut utiliser le raisonnement par récurrence
1) initialisation : P(0) est vraie U0 = 1 ≠ 0
2) hérédité : soit un entier n ≥ 0, supposons P(n) vraie et montrons que
P(n+1) est vraie
Un+1 = Un/(1+2Un) comme Un ≠ 0 ⇒ Un+1 ≠ 0
3) conclusion : P(0) est vraie et P(n) est héréditaire à partir du rang 0
donc par récurrence P(n) est vraie pour tout n ≥ 0
3) Vn = 1/Un avec Un ≠ 0
A) calculer V0 ; V1 et V2
V0 = 1/U0 = 1
V1 = 1/1/3 = 3
V2 = 1/1/5 = 5
B) quelle est la nature de la suite V, justifier
V1 - V0 = 3 - 1 = 2
V2 - V1 = 5 - 3 = 2
Donc V est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme V0 = 1
4) exprimer Vn en fonction de n
puisque V est une suite arithmétique ⇒ Vn = V0 + nr
⇒ Vn = 1 + 2 n
en déduire une expression de Un en fonction de n
Vn = 1/Un ⇒ Un = 1/Vn = 1/(1+2n)
Explications étape par étape
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