Réponse : Bonjour,
2) Pour étudier les variations de g sur l'intervalle [tex][-\frac{\pi}{16};\frac{7\pi}{16}][/tex], on calcule la dérivée g':
[tex]g'(x)=-4\sin\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex].
Il faut donc étudier le signe de [tex]\sin\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex], pour tout [tex]x \in [-\frac{\pi}{16};\frac{7\pi}{16}][/tex]:
[tex]-\frac{\pi}{16} \leq x \leq \frac{7\pi}{16}\\-\frac{4\pi}{16} \leq 4x \leq \frac{28\pi}{16}\\-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4} \leq 4x+\frac{\pi}{4} \leq \frac{28\pi}{16}+\frac{\pi}{4}\\0 \leq 4x+\frac{\pi}{4} \leq \frac{32\pi}{16}=2\pi[/tex].
Sur l'intervalle [tex][0:2\pi][/tex], [tex]\sin(x) \geq 0[/tex] sur l'intervalle [tex][0;\pi][/tex], et [tex]\sin(x) \leq 0[/tex], sur l'intervalle [tex][\pi;2\pi][/tex].
Donc [tex]\sin(4x+\frac{\pi}{4}) \geq 0[/tex], si:
[tex]0 \leq 4x+\frac{\pi}{4} \leq \pi\\0-\frac{\pi}{4} \leq 4x \leq \pi-\frac{\pi}{4} \\-\frac{\pi}{4} \times \frac{1}{4} \leq x \leq \frac{3\pi}{4} \times \frac{1}{4}\\-\frac{\pi}{16} \leq x \leq \frac{3\pi}{16}[/tex].
Donc [tex]g'(x) \leq 0[/tex] sur l'intervalle [tex][-\frac{\pi}{16};\frac{3\pi}{16}][/tex].
D'autre part, [tex]\sin(4x+\frac{\pi}{4}) \leq 0[/tex], si:
[tex]\pi \leq 4x+\frac{\pi}{4} \leq 2\pi\\ \pi-\frac{\pi}{4} \leq 4x \leq 2\pi-\frac{\pi}{4}\\ \frac{3\pi}{4} \times \frac{1}{4} \leq x \leq \frac{7\pi}{4} \times \frac{1}{4}\\ \frac{3\pi}{16} \leq x \leq \frac{7\pi}{16}[/tex].
Donc [tex]g'(x) \geq 0[/tex], sur l'intervalle [tex][\frac{3\pi}{16};\frac{7\pi}{16}][/tex].
g est donc décroissante sur l'intervalle [tex][-\frac{\pi}{16};\frac{3\pi}{16}][/tex], et croissante sur l'intervalle [tex][\frac{3\pi}{16};\frac{7\pi}{16}][/tex].
