Réponse : Bonsoir,
Pour déterminer l'abscisse des points B et C, il faut calculer les racines du trinôme du second degré [tex]-x^{2}+x+6=0[/tex].
On calcule le discriminant [tex]\Delta[/tex]:
[tex]\Delta=1^{2}-4 \times (-1) \times 6=1+24=25[/tex].
Les racines sont donc:
[tex]x_{1}=\frac{-1-\sqrt{25}}{-2} \quad ou \quad x_{2}=\frac{-1+\sqrt{25}}{-2}\\x_{1}=\frac{-1-5}{-2}=3 \quad ou \quad x_{2}=\frac{-1+5}{-2}=-2[/tex].
Le point B a donc pour coordonnées B(-2;0), et le point C a pour coordonnées C(3;0).
Le point A est le sommet de la parabole, son abscisse est donc [tex]x=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}[/tex].
Son ordonnée est : [tex]-(\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}+6=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+6=\frac{-1+2+24}{4}=\frac{25}{4}[/tex].
Le point A donc pour coordonnées [tex]A(\frac{1}{2};\frac{25}{4})[/tex].
Soit H le pied de la hauteur issue de A. Le point H a donc la même abscisse que A, et ses coordonnées sont donc [tex]H(\frac{1}{2};0)[/tex].
Pour calculer l'aire du triangle ABC, il nous faut donc calculer BC et AH:
[tex]BC=\sqrt{(3+2)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{25}=5\\AH=\sqrt{(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})^{2}+(0-\frac{25}{4})^{2}}=\sqrt{(-\frac{25}{4})^{2}}=\frac{25}{4}[/tex].
Donc l'aire du triangle ABC est:
[tex]\mathcal{A}_{ABC}=\frac{BC \times AH}{2}=\frac{5 \times \frac{25}{4}}{2}=\frac{125}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{125}{8}=15,625 \; unites \; d'aire[/tex].
