Réponse : Bonsoir,
I est le symétrique de A par rapport à B, donc les coordonnées de I dans le repère (A,B,D) sont (2;0).
J est le symétrique de D par rapport à A, donc les coordonnées de j dans le repère (A,B,D) sont (0;-1).
On calcule les longueurs OI, OJ et IJ:
[tex]OI=\sqrt{(2-\frac{1}{2})^{2}+(0-\frac{1}{2})^{2}}=\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+(-\frac{1}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}\\OJ=\sqrt{(0-\frac{1}{2})^{2}+(-1-\frac{1}{2})^{2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}[/tex].
OI=OJ, donc le triangle OIJ est isocèle en O.
On calcule maintenant IJ:
[tex]IJ=\sqrt{(0-2)^{2}+(-1-0)^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}[/tex].
Pour démontrer que le triangle OIJ est rectangle en O, il faut montrer en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore que [tex]IJ^{2}=OI^{2}+OJ^{2}[/tex].
D'une part:
[tex]IJ^{2}=(\sqrt{5})^{2}=5[/tex].
D'autre part:
[tex]OI^{2}+OJ^{2}=(\frac{\sqrt{10}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{10}}{2})^{2}=\frac{10}{4}+\frac{10}{4}=\frac{20}{4}=5[/tex].
On a vérifié que [tex]IJ^{2}=OI^{2}+OJ^{2}[/tex], donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OIJ est rectangle en O.
Par suite, le triangle OIJ est rectangle isocèle en O.
b) L'aire [tex]\mathcal{A}_{ABCD}[/tex] du carré ABCD est:
[tex]\mathcal{A}_{ABCD}=AB^{2}=(1-0)^{2}+(0-0)^{2}=1[/tex].
D'autre part, l'aire [tex]\mathcal{A}_{OIJ}[/tex] du triangle OIJ est:
[tex]\mathcal{A}_{OIJ}=\frac{OI \times OJ}{2}=\frac{OI^{2}}{2}=\frac{\frac{10}{4}}{2}=\frac{10}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{5}{4}[/tex].
[tex]\frac{5}{4} > 1[/tex], donc l'aire du triangle OIJ est supérieure à l'aire du carré ABCD.
