Bonjour;
1.
Tout d'abord c'est xy = ((x + y)/2)² - ((x - y)/2)²
et non xy = ((x + y)/2)² - ((x + y)/2)² .
On utilisera l'identité remarquable : a² - b² = (a - b)(a + b) .
((x + y)/2)² - ((x - y)/2)² = ((x + y)/2 - (x - y)/2)((x + y)/2 + (x - y)/2)
= ((x + y - x + y)/2)((x + y + x - y)/2) = ((2y)/2)((2x)/2) = yx = xy .
2.
On a pour tous nombres réels x et y : (x - y)² ≥ 0 car c'est un carré ;
donc : x² + y² - 2xy ≥ 0 ;
donc : x² + y² ≥ 2xy ;
donc : x² + y² + 2xy ≥ 4xy ;
donc : (x + y)² ≥ 4xy ;
donc : (x + y)²/4 ≥ xy ;
donc : ((x + y)/2)² ≥ xy .
3.
xy = ((x + y)/2)² ;
donc : xy = (x + y)²/4 ;
donc : 4xy = (x + y)² ;
donc : 4xy = x² + y² + 2xy ;
donc : x² + y² + 2xy - 4xy = 0 ;
donc : x² + y² - 2xy = 0 ;
donc : (x - y)² = 0 ;
donc : x - y = 0 ;
donc : x = y ;
donc on peut avoir xy = ((x + y)/2)² si x = y ;
dans ce cas on a : x² = ((2x)/2)² = (x)² = x² .
