Réponse : Bonsoir,
1) Il faut procéder par récurrence.
Initialisation: A l'ordre n=1.
[tex]\frac{1(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1\\\frac{1(1+1)(1+2)}{6}=\frac{3 \times 2}{6}=\frac{6}{6}=1[/tex].
Donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=1.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, et montrons là à l'ordre n+1.
On a:
[tex]\sum_{k=1}^{n+1} \frac{k(k+1)}{2}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}\\Hypothese \; de \; recurrence: \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\\\sum_{k=1}^{n+1} \frac{k(k+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}\\\sum_{k=1}^{n+1} \frac{k(k+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}[/tex].
La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout n entier naturel:
[tex]\sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/tex].
