Réponse:
Etudions les variations de f
f est definie et derivable sur IR+ comme fonction rationnelle.
f'(x) = [2(x+1)-1×(2x+1)]/(x+1)²
= 1/(x+1)²
Sur IR+, f'(x) est strictement positive donc f est strictement croissante.
Soit la propriété P(n) : Un+1 > Un
Initialisation :
U0 = 1 et U1 = 1,5
ainsi U1 > U0
La propriété est vraie au rang 0.
Heredité
Supposons que Un+1 > Un pour un entier naturel n ≥ 0
la fonction f étant strictement croissante, deux nombres et leur image par f sont classés dans le meme ordre.
Un+1 > Un
f(Un+1) > f(Un)
Un+2 > Un+1
La propriété est hereditaire.
Conclusion :
La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire donc Un+1 > Un pour tout n de IN.
La suite (Un) est croissante pour tout n≥0.
Soit la propriété P'(n) : Vn > Vn+1
Initialisation :
V0= 2 et V1 = 5/3
ainsi V0 > V1
La propriété est vraie au rang 0.
Heredité
Supposons que Vn > Vn+1 pour un entier naturel n ≥ 0
la fonction f étant strictement croissante, deux nombres et leur image par f sont classés dans le meme ordre.
Vn > Vn+1
f(Vn) > f(Vn+1)
Vn+1 > Vn+2
La propriété est hereditaire.
Conclusion :
La propriété est vraie au rang 0 et est hereditaire donc Vn > Vn+1 pour tout n de IN.
La suite (Vn) est décroissante pour tout n ≥0.
