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résolu

Bonjour pouvez-vous m'aider avec les questions 2) et 3) svp merci
f et g sont les fonctions définies sur R par f(x)=−2x²+4x+49 et g(x)=x²−2x+4.
Cf et Cg sont respectivement les représentations graphiques de f et g dans un repère orthonormé du plan.

1. a. En remarquant que x² −2x est le début d’une identité remarquable, compléter les cases suivantes :
Pour tous les réels x, on a :
g(x)=(x-1)²+4-1
g(x)=(x-1)²+3

b. Déterminer les antécédents de 19 par g.
S={-3;5}

2. a. Compléter les cases suivantes :
Pour tous les réels x, on a :
-3x²+6x+45 = -3(x²-2x-15) = -3[(x-?)²-?-?] = -3[(x-?)²-?²]

En utilisant une identité remarquable, on obtient :
-3x²+6x+45 = -3(x-5)(x+3)

b. Etudier la position relative des courbes Cf et Cg.
?

3. Application : un jardinier doit faire le parterre suivant qui correspond aux courbes Cf et Cg.
L'unité est le mètre.
Déterminer les dimensions AB et CD de ce parterre en s'aidant des informations du graphique.

Bonjour Pouvezvous Maider Avec Les Questions 2 Et 3 Svp Merci F Et G Sont Les Fonctions Définies Sur R Par Fx2x4x49 Et Gxx2x4 Cf Et Cg Sont Respectivement Les R class=

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Réponse :

Explications étape par étape

f(x)=-2x²+4x+49=-2(x²-2x-49/2)

(x²-2x) est le début de l'identité remarquable (x-1)² qui donne x²-2x+1 j'ai 1 en trop je le soustrais

-2[(x-1)²-1-49/2]=-2[(x-1)²-51/2]=-2(x-1)²+51

On note que f(x) est max pour x=1 car dans ce cas -2(x-1)²=0 et f(x)=51. Les coordonnées de B sont B(1;51)

Voyons le cas de g(x)=x²-2x+4  même méthode

g(x)=(x-1)²-1+4=(x-1)²+3

On note que g(x) est minimale pour x=1 car dans ce cas (x-1)²=0 et g(x)=3

d'où les coordonnées de A(1; 3)

les antécédents de 19 par g sont les solutions de g(x)=19 soit

x²-2x+4=19 ou x²-2x-15=0

on factorise cette équation

(x-1)²-1-15 =(x-1)²-16 ici je reconnais l'identité remarquable (a²-b²)=(a-b)(a+b)

(x-1-4)(x-1+4)=0 soit (x-5)(x+3)=0

les solutions sont donc x=-3 et x=+5

les coordonnées de C(-3; 19) et de D(5;19)

Il reste à vérifier que ces deux points C et D appartiennent à Cf

f(-3)=-2(-3)²+4(-3)+49=-18-12+49=49-30=19 donc C appartient à Cf

f(5)=-2(5²)+4*5+49=-50+20+49=69-50=19 donc D appartient à Cf

les points A et B ont la même asbscisse +1 donc

AB=yB-yA=51-3=48

les points C et D ont la même ordonnée19 donc

CD=yD-yC=5-(-3)=8

les dimensions des axes du parterre sont donc 48m et 8m

La question concernant la position relative des deux courbes est normalement au programme de 2de.

On étudie le signes de f(x)-g(x) si c'est>0 Cf est au dessus de Cg et inversement si c'est<0 Cf est en dessous de Cg

f(x)-g(x)=-2x²+4x+49-x²+2x-4=-3x²+6x+45=-3(x²-2x-15)

On résout l'équation -3(x²-2x-15)=0 et on fait un tableau de signes

factorisation

-3[(x-1)²-1-15]=0 soit -3(x-1-4)(x-1+4)=0

solutions x=-3 et x=5 on retrouve les abscisses de C et D

tableau de signes

x    -oo               -3                    +5                           +oo

-3.................-...................-...............................-.................

(x+3)..........-..........0.........+..............................+..................

(x-5)..........-......................-................0.............+...................

f(x)-g(x).......-.........0..........+...............0............-.................

On en déduit que Cf est au dessus de Cg sur l'intervalle -3<x5.

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