Répondre :
Bonjour ;
a.
Un nombre entier naturel x est pair si il existe un nombre entier
naturel h tel que : x = 2h .
Un nombre entier naturel y est pair si il existe un nombre entier
naturel k tel que : y = 2k .
Un nombre entier naturel z est pair si il existe un nombre entier
naturel j tel que : z = 2j .
La somme de ces trois nombres entiers naturels est :
x + y + z = 2h + 2k + 2j = 2(h + k + i) .
Comme h , k et j sont des nombres entiers naturels alors
h + k + j est un nombre entier naturel , donc la somme de
trois nombres entiers naturels est un nombre entier naturel pair .
b.
Sont n un nombre entier naturel , donc le nombre entier naturel
qui lui est consécutif est : n + 1 ; et le nombre entier naturel qui
est consécutif à n + 1 est n + 2 ; donc la somme de ces trois
nombres entiers naturels consécutifs est : n + (n + 1) + (n + 2)
= 3n + 3 = 3(n + 1) .
La parité de la somme de ces trois nombres entiers naturels
consécutifs dépend de la parité de n qui est le premier nombre
de ces trois nombres entiers naturels : si n est pair alors il existe
un nombre entier naturel k tel que n = 2k ; donc : 3(n + 1)
= 3(2k + 1) qui est le produit de deux nombres entiers naturels
impairs , donc n + (n + 1) + (n + 2) est impair , et si n est
impair alors il existe h un nombre entier naturel tel que :
n = 2h + 1 ; donc 3(n + 1) = 3(2k + 1 + 1) = 3(2k + 2) = 6(k + 1)
qui est le produit d'un nombre pair et d'un nombre impair ,
donc c'est un nombre entier naturel pair .
Conclusion : si n est pair alors la somme de trois nombres
entiers naturels consécutifs dont n est le premier terme est
impair , et si n est impair alors la somme de trois nombres
entiers naturels consécutifs dont n est le premier terme
est pair .
c.
Soient m et n deux nombres entiers naturels pairs , donc il
existe deux nombres entiers naturels h et k tels que :
m = 2 h et n = 2k ; donc le produit de ces deux nombres est :
mn = (2h) * (2k) = 4hk = 2 * (2hk) ; donc le produit de deux
nombres entiers naturels pairs est pair .
Soient m et n deux nombres entiers naturels impairs , donc il
existe deux nombres entiers naturels h et k tels que :
m = 2 h + 1 et n = 2k + 1 ; donc le produit de ces deux nombres
est : mn = (2h + 1) * (2k + 1) = 4hk + 2h + 2k + 1
= 2(2hk + h + k) + 1 ; donc le produit de deux nombres entiers
naturels impairs est impair .
Soient n un nombre entier naturel et n + 1 le nombre entier
naturel qui lui est consécutif .
Si n est un nombre entier naturel pair alors il existe un nombre
entier naturel k tel que : n = 2k ; donc le produit de n et n + 1
est : n(n + 1) = 2k(2k + 1) = 2(k(2k + 1)) qui est un nombre entier
naturel pair .
Si n est un nombre entier naturel impair alors il existe un nombre
entier naturel k tel que : n = 2k + 1 ; donc le produit de n et n + 1
est : n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 1 + 1) = (2k + 1)(2k + 2) = 2(k + 1)(2k + 1)
= 2((k + 1)(2k + 1)) qui est un nombre entier naturel pair .
Conclusion : le produit de deux nombres entiers naturels
consécutifs est pair .
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