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Réponse :
U0 = 1 ; on cherche U4
U1 = 1/3 + 0 - 2 = - 5/3
U2 = - 5/9 + 1 - 2 = - 14/9
U3 = 1/3(-14/9) = - 14/27
U4 = 1/3(-14/27) + 3 - 2 = - 14/81 + 1 = - 14+81)/81 = 67/81
Initialisation P(4) est vraie U4 = 67/81 ≥ 0
hérédité : on suppose P(n) est vraie pour tout n ≥ 4 ⇔ Un ≥ 0
et montrons que P(n+1) est aussi vraie au rang n≥ 4 ⇔ Un+1 ≥ 0
en partant de Un ≥ 0 ⇔ (1/3)Un ≥ 0 ⇔ (1/3)Un + n ≥ n
⇔ (1/3)Un + n - 2 ≥ n - 2 or Un+1 = (1/3)Un + n - 2
donc Un+1 ≥ n - 2 puisque n ≥ 4 ⇒ n - 2 ≥ 2
donc Un+1 ≥ n-2 ≥ 2 donc Un+1 ≥ 0
Conclusion : P(4) est vraie ⇔ U4 ≥ 0 et P(n) est hériditaire au rang n ≥ 4 donc par récurrence P(n) est vraie pour tout n ≥ 4
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