Bonjour,
1) En voyant l'allure de la courbe, il semblerait que la fonction f soit croissante sur {3 ; +∞[
2) a)
f(x) = 2(x - 5)(x - 1)
= 2(x² - x - 5x + 5)
= 2(x² - 6x + 5)
= 2(x² - 2*3*x + 9 - 4) (Identité remarquable (a-b)² = a² - 2ab + b²)
f(x) = 2(x - 3)² - 8
b) Soit a = x1 et b = x2 (sans intérêt mais pour simplifier l'écriture numérique)
[tex]\frac{f(x2)-f(x1)}{x2-x1}\\\\=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\\\=\frac{2(b-3)^{2}-8-[2(a-3)^{2} -8] }{b-a} \\\\=\frac{2(b-3)^{2}-8-2(a-3)^{2}+8 }{b-a} \\\\=\frac{2[(b-3)^{2}-(a-3)^{2}]}{b-a} \\\\=\frac{2[(b^{2}-6b+9)-(a^{2}-6a+9)] }{b-a} \\\\=\frac{2(b^{2}-6b-a^{2}+6a) }{b-a} \\\\=\frac{2[(b-a)(b+a)+6(a-b)]}{b-a} \\\\=\frac{2[(b-a)(b+a)-6(b-a)]}{b-a} \\\\=\frac{2[(b-a)(b+a-6)]}{b-a} \\\\=2(b+a-6)\\\\=2(x1+x2-6)[/tex]
c) On cherche le signe de 2(x1 + x2 - 6).
2 > 0, le signe dépend de x1 + x2 - 6.
x1 + x2 - 6 > 0 ssi x1 + x2 > 6
Or x1 ≥ 3 et x2 > x1, donc x1 + x2 > 0 et le taux de variation est positif.
Donc la fonction f est croissante sur l'intervalle [3 ; +∞[.
