hyp : a, b, c et d sont strictement positifs
a < b et c < d
propriété :
Si on multiplie par un même nombre strictement positif les deux membres
d'une inégalité alors on obtient une nouvelle inégalité de même sens que la première
1) on sait que a < b on multiplie les deux membres par c
d'après la propriété
ac < bc
2) de même avec c < d ; on multiplie les deux membres par b
bc < bd
3)
on a ac < bc et bc < bd
la relation "est plus petit que" est transitive
on en déduit
ac < bd
propriété
On peut multiplier membre à membre deux inégalités de même sens entre nombres strictement positifs. On obtient une inégalité de même sens que les deux premières.
4)
si l'un des nombres est nul ou s'ils ne sont pas tous positifs cette propriété n'est plus vraie
contre-exemple
-2 < 3
-3 < -2
en multipliant membre à membre on obtient 6 et -6
le premier membre est supérieur au second
