Réponse : Bonsoir,
1) On a:
[tex]u_{n}=u_{0} \times q^{n}=q^{n}\\u_{n} \times u_{p}=q^{n} \times q^{p}=q^{n+p}=u_{n+p}[/tex].
2) S'il existe un réel a tel que f(a)=0, alors en supposant que a=0, alors:
[tex]f(x+0)=f(x)=f(x) \times f(0)=0[/tex].
Alors f(x)=0, pour tout x réel, donc f est la fonction nulle.
3)a) On a:
[tex]f(x+0)=f(x)=f(x) \times f(0)\\Donc \; f(0)=\frac{f(x)}{f(x)}=1[/tex].
b) On a:
[tex]f(x)=f(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})=f(\frac{x}{2}) \times f(\frac{x}{2})=(f(\frac{x}{2}))^{2} > 0\\Car \; f \; ne \; sannule \; pas, \; et \; un \; carree \; est \; toujours \; positif[/tex].
c) On a:
[tex]f(x+(-x))=f(0)=f(x) \times f(-x)=1\\f(x) \times f(-x)=1\\f(-x)=\frac{1}{f(x)}[/tex].
d) On a:
[tex]f(n+1)=f(n) \times f(1)[/tex].
Donc pour tout entier naturel n, [tex]\frac{f(n+1)}{f(n)}=f(1)[/tex], donc la suite [tex](f_{n})[/tex] est une suite géométrique de raison f(1).
4) La fonction g est la composée de la fonction [tex]y \mapsto x+y[/tex] qui est dérivable pour tout [tex]y \in \mathbb{R}[/tex], et de la fonction f dérivable sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
Donc g est dérivable sur [tex]\mathbb{R}[/tex], par composée de deux fonctions dérivables sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
Première méthode pour dériver g (avec la définition de f):
[tex]g(y)=f(x+y)=f(x) \times f(y)\\g'(y)=f(x)f'(y)[/tex].
Deuxième méthode pour dériver g (avec les fonctions composées):
[tex]g(y)=f(x+y)\\g'(y)=(x+y)'f'(x+y)=f'(x+y)[/tex].
On a donc que pour tout y réel: [tex]f'(x+y)=f(x)f'(y)[/tex].
En prenant y=0, dans l'égalité précédente:
[tex]f'(x)=f(x)f'(0)[/tex].
f'(0) est un nombre donc une constante k, donc:
[tex]f'(x)=kf(x)[/tex], avec k un nombre réel.
5) Si f est une fonction non nulle, dérivable, vérifiant la relation R, alors:
[tex]f(0)=1\\f(x) > 0, \; pour \; tout \; x \; reel\\f(-x)=\frac{1}{f(x)}, \; pour \; tout \; x \; reel\\f'(x)=kf(x), \; pour \; tout \; x \; reel, \; et \; k \; reel,[/tex].