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LILICE97430VIZ
résolu

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un devoir de maths sur les dérivées et exponentielles, niveau terminal.
Voici l'énoncé:
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=(-x^2+4)e^1/2x
En annexe la courbe représentant cette fonction( pour préciser que je possède la courbe)
1)déterminer l'équation de la tangente de C au point d'abscisse 0. Tracer sur l'annexe cette tangente.
(Je ne met pas l'annexe mais je la tracerais sur papier).
2 déterminer les variations de la fonction f puis dresser son tableau de variation
3 démontrer l'équation f(x) = -3 à une unique solution alpha sur R.
4 après avoir justifier que alpha appartient à [2:3] écrire un algorithme permettant d'obtenir un encadrement de alpha à 10^-4 près en déduire une valeur à 10^-3 près.

Voici où j'en suis
1 y= f'(0)(x-0)+f(0)
Deja une petite question, a quoi correspond ce x?
Je continue avec f'(0) = 4
Et f(0) = 0
Donc y= 4 pour l'équation de tangente.
Est il utile de faire la derivee de la fonction complètement ?
Je me suis arrêtée à la parce que je n'arrive pas à faire de tableau de variations comme cela.
Et je ne sais pas construire d'algorithme :/

Voila mon avancée, c'est pour demain. Merci d'avance pour votre aide.

Répondre :

Réponse :

Bonjour Lilice, je ne vois pas comment tu a pu calculer f'(0)=4 sans avoir déterminer la fonction dérivée f'(x).

Explications étape par étape

Comme le but est de tracer la courbe représentant f(x) et une tangente il nous faut une étude complète de f(x) sur son Df

Df=R

1)Limites aux bornes

si x tend vers -oo, -x²+4 tend vers -oo et  e^0,5x tend vers 0+ donc f(x) tend vers 0-

si x tend vers +oo, -x²+4 tend vers -oo et  e^0,5x tend vers +oo

donc f(x) tend vers -oo

2)Dérivée elle t'a été donnée par Amateur

f(x) est une fonction produit u*v donc f'(x)=u'v+v'u avec

u=-x²+4   u'=-2x

v=e^0,5x   v'=0,5e^0,5x

f'(x)=-2x*e^0,5x+0,5(-x²+4)e^0,5x

on factorise e^0,5x

f'(x)=e^0,5x (-2x-0,5x²+2)

le signe de cette dérivée dépend uniquement du signe de

-0,5x²-2x+2 car e^0,5x est tjrs >0

-0,5x²+2x+2 = 0 pour x1=-2-2rac2  et x2=-2+2rac2  ceci via delta

(vérifie)

Avec ceci on peut dresser le tableau de variation de f(x)

on parlera de la tangente après.

x    -oo                   x1              0               x2                              +oo

f'(x).............-...............0..............+.................0..................-..................

f(x) 0-........D.............f(x1).........C...................f(x2).........D..................-oo

C=croissante et D=décroissante

calcule f(x1) à priori cette valeur est <0 mais >-3

calcule f(x2) cette valeur est >0

Tu remarqueras au passage que f(0)=4 et que f(x)=0 a deux solutions x=2 et x=-2

Sur l'intervalle  [-2+2rac2; +oo[ f(x) est continue et monotone et elle passe d'une valeur >0 à -oo; d'après le TVI il existe une et une seule valeur "alpha" telle que f(alpha)=-3

Détermine cette valeur "alpha"  par encadremenrt avec ta calculette.

nota: L'algorithme ?? je ne sais pas faire ma génération   calculait un encadrement puis une approximation linéaire (nous n'avions pas de calculette mais on savait compter).

Revenons à la tangente : Amateur t'a donnée la réponse . Il suffit d'appliquer la formule vue en cours

y=f'(0)(x-0)+f(0)=2(x-0)+4=2x+4

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