Réponse :
1) x ∈ [0 ; 40]
2) a) on admet que BNP est rectangle isocèle en P
exprimer la longueur AP en fonction de x
BP = NP = AM = x
AP = AB - BP = 60 - x
donc AP = 60 - x
b) en déduire que l'aire du rectangle APNM est : A(x) = 60 x - x²
A = AM * AP = x *(60 - x) = 60 x - x² (forme 1)
c) justifier que pour tout x ∈ I, A(x) = 900 - (x - 30)² (forme 2)
A(x) = - x² + 60 x = - (x² - 60 x) = - (x² - 60 x + 900 - 900)
⇔ - ((x² - 60 x + 900) - 900) ⇔ - ((x - 30)² - 900) ⇔ - (x - 30)² + 900
donc A(x) = - (x - 30)² + 900
3) résoudre les deux problèmes posés en introduction
1) A(x) = 800 ⇔ - (x - 30)² + 900 = 800 ⇔ - (x - 30)² + 100 = 0
⇔ - ((x - 30)² - 100) = 0 ⇔ (x - 30)² - 100 = 0 ⇔ (x - 30)² - 10² = 0
⇔ (x - 30 + 10)(x - 30 - 10) = 0 ⇔ (x - 20)(x - 40) = 0 ⇔ x - 20 = 0
⇔ x = 20 ou x = 40
4) justifier que, pour tout x ∈ I on a A(x) ≤ 900
pour tout x ∈ [ 0 ; 40] on a pour x = 0 ⇒ A(0) = 0 et pour = 40 ⇒ A = 800
donc pour tout x ∈ I ; A(x) ≤ 900
A(x) = 900 ⇔ - (x - 30)² + 900 = 900 ⇔ (x - 30)² = 0 ⇔ x = 30
Explications étape par étape
