Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape
1) [tex]\lim_{x \to \ -1} (x+1) =0 \\ \lim_{x \to \ -1} 2x^{2}+4x+10=8[/tex]
par quotient, [tex]\lim_{x \to \ -1} f(x) =[/tex] +∞
[tex]\lim_{n \to \infty} f(x)=[/tex] +∞
2) La droite d'équation x = -1 est donc asymptote verticale à la courbe de f
3) ax +b +c/(x+1) = )ax(x+1) + b(x+1) + c)/(x+1) = (ax² +ax +bx +b +c)/(x+1)
= (ax² + (a+b)x +b+c)/(x+1)
Par identification, on obtient a =2 ; b+a =4 ; b+c = 10
donc a =2 ; b = 2 et c = 8
donc f(x) = 2x + 2 +8/(x+1)
4) f'(x) = 2 + (-8)/(x+1)² = 2 - 8/(x+1)²
f'(x) ≤ 0 sur ]-1 ; 1] et f'(x) ≥0 sur [1 ; +∞[
donc f(x) est décroissante sur ]-1 ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[
5)Calculons f(x) - (2x+2) = 2x +2 +8/(x+1)² -2x-2 = 8/(x+1)² ≥0(car 8 >0 et (x+1)² ≥0 en tant que carré)
f(x) - (2x+2) étant positive, on peut conclure que la courbe Cf est au dessus de droite D d'équation y = 2x +2
