Réponse :
J'ai étudié la fonction qui à x associe x^3 / 2^x.
Pour le calcul de la fonction dérivée, j'ai écris au préalable 2^x = e^(x ln2)
( x^3 / 2^x)' = x² (3 - x ln2) / 2^x
On travaille a priori sur des valeurs positives de x.
La dérivée s'annule et change de sens pour x = 3 / ln2 ≈ 4,328
Dérivée positive entre 0 et 3 / ln2
Fonction croissante sur cet intervalle.
Dérivée négative pour x > 3 / ln2
Fonction décroissante sur ]3/ln2 ; +∞[
A partir de n = 4, on a Un+1 - Un < 0, la suite est décroissante pour tout n ≥ 4.
La suite est croissante pour les valeurs de n < 4.
