Bonjour,
1)
a)
1/a -1/b = (b-a)/ab.
Cela s'obtient en ajoutant les deux fractions. Pour ce faire, il faut mettre les fractions sous le même dénominateur. Donc :
multiplier le numérateur et dénominateur de 1/a par b et 1/b par a.
D'où on a : b/ab - a/ab
comme les deux fractions ont le même dénominateur, on a maintenant : (b-a) /ab
b) Si b et a sont strictement positif, et b plus grand que a , alors la différence b-a est toujours positive.
c) si a et b sont de même signe, alors la multiplication de a par b est positive
d) Pour voir le sens de variation de la fonction, ajoutons 1 à a et b et comparons les résultats.
(b+1) - (a+1) / (a+1) ( b+1) = ( b+1) -(a+1) / ab+a+b+1
On sait que a et b sont positifs, donc le diviseur ( ab+a+b+1) est plus grand que (ab) donc en ajoutant 1 à "a" et "b" , le résultat de l'opération sera plus petit.
donc la fonction est décroissante sur R+
2)
a) Si b et a sont négatif, et "a " inférieur à "b" alors on a :
b-a = b-(1)(a) avec a négatif et -1 négatif, on a un produit de facteur de même signe donc -1xa est positif et est égal à = +a
donc on a b-a = b+a. Comme a est inférieur à b alors on peut affirmer que le résultat sera positif car la valeur absolue de a est supérieur à la valeur absolue de b.
b) si a et b sont de même signe, alors la multiplication de a par b est positive
c) Pour voir le sens de variation de la fonction, ajoutons 1 à a et b et comparons les résultats.
(b+1) - (a+1) / (a+1) ( b+1) = ( b+1) -(a+1) / ab+a+b+1
N'oublions pas que " a " et "b" sont négatifs !
donc : (b+1) - (a+1) / (a+1) ( b+1) = b+1 +a-1 / ab-a-b+1
= b+a / ab-a-b+1
on sait que b+a est positif ( cf 2a) et ab positif, -a est positif car a négatif, -b est positif pour la même raison, et +1 positif.
donc ab-a-b+1 est une somme positive.
donc ab-a-b+1 plus grand que ab et que b-a = (b+1) - ( a+1) alors on peut affirmer que ( b-a) / ( ab-a-b+1) est plus petit que b-a/ab car le diviseur de la première fraction est plus grand que celui de la deuxième et les numérateurs sont identiques.
Donc la fonction est décroissante sur R (-).
Bonne année !
