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Bonjour Helper123
Partie A
La bouteille est un cylindre surmonté par une demi sphère.
Le cylindre a une hauteur égale à 7cm et le rayon de la base est égal à x
[tex]V_{cylindre}=\pi\times r^2\times h\\\\V_{cylindre}=\pi\times x^2\times 75\\\\\boxed{V_{cylindre}=75\pi x^2}[/tex]
La demi-sphère a un rayon égal à x.
Volume d'une sphère de rayon R : [tex] \dfrac{4}{3}\times\pi\times R^3[/tex]
Volume de la demi-sphère de rayon x :
[tex]V_{demi-sph\grave{e}re}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\pi\times x^3\\\\V_{demi-sph\grave{e}re}=\dfrac{2}{3}\times\pi\times x^3\\\\\boxed{V_{demi-sph\grave{e}re}=\dfrac{2}{3}\pi x^3}[/tex]
D'où
[tex]V_{bouteille}=V_{demi-sph\grave{e}re}+V_{cylindre}\\\\\boxed{V(x)=\dfrac{2}{3}\pi x^3+75\pi x^2}[/tex]
En arrondissant π à 3, nous obtenons :
[tex]\boxed{V(x)=2x^3+235x^2}[/tex]
Partie B
[tex]f(x)=2x^3+235x^2\ \ avec\ \ x\in[8,4\ ;10,2][/tex]
1) Dérivée f'.
[tex]f'(x)=(2x^3+235x^2)'\\\\f'(x)=(2x^3)'+(235x^2)'\\\\f'(x)=2\times3x^2+235\times2x\\\\\boxed{f'(x)=6x^2+470x}[/tex]
2) [tex]2)\ f'(x)=6x^2+470x\\\\f'(x)=6x\times x+470\times x\\\\\boxed{f'(x)=x(6x+470)}[/tex]
3) signe de f'(x)
[tex]x\in[8,4\ ;10,2]\Longrightarrow8,4\le x\le10,2\\\\\Longrightarrow x\ \textgreater \ 0\ \ et\ \ 6x+470\ \textgreater \ 0[/tex]
Par conséquent,
[tex]Si\ x\in[8,4\ ;10,2],\ alors\ \boxed{f'(x) \ \textgreater \ 0}[/tex]
4) Tableau de variation de f sur l'intervalle [8,4 ; 10,2]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&8,4&&&&&&10,2 \\ Signe\ de\ f'(x)&&&&+&&&\\Variation\ de\ f&17767,008&&&\nearrow&&&26571,816\\ \end{array}[/tex]
5) Tableau de valeurs de f
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} x&8,4&8,8&9&9,5&10,2 \\ f(x)&17767&19561&20493&22924&26572\\ \end{array}[/tex]
6) Graphique en pièce jointe.
7) Graphiquement, nous pouvons voir que 25 500 est l'image de 10 par la fonction f.
Par conséquent,
f(x) = 25 500 si x = 10.
Partie C
1) Le diamètre d'une bouteille de plongée est donnée par 2x puisque x est le rayon du cylindre.
Or, selon la question précédente, f(x) = 25 500 si x = 10.
si x = 10, alors 2x = 20.
D'où,
le diamètre d'une bouteille de plongée dont le volume est 25 500 cm³ est égale 20 cm.
2) Capacités minimale et maximale des bouteilles fabriquées par cette entreprise.
Selon la variation de la fonction f et le tableau donné dans la question 5,
le volume minimal = 11 767 cm³ = 11,767 dm³
Or 1 dm³ = 1 litre.
D'où la capacité minimale est de 11,767 litres
Le volume maximal = 26 572 cm³ = 26,572 dm³
D'où la capacité maximale est de 26,572 litres.
En arrondissant les résultats à 10⁻¹,
capacité minimale : 11,8 litres
capacité maximale : 26,6 litres.
Partie A
La bouteille est un cylindre surmonté par une demi sphère.
Le cylindre a une hauteur égale à 7cm et le rayon de la base est égal à x
[tex]V_{cylindre}=\pi\times r^2\times h\\\\V_{cylindre}=\pi\times x^2\times 75\\\\\boxed{V_{cylindre}=75\pi x^2}[/tex]
La demi-sphère a un rayon égal à x.
Volume d'une sphère de rayon R : [tex] \dfrac{4}{3}\times\pi\times R^3[/tex]
Volume de la demi-sphère de rayon x :
[tex]V_{demi-sph\grave{e}re}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\pi\times x^3\\\\V_{demi-sph\grave{e}re}=\dfrac{2}{3}\times\pi\times x^3\\\\\boxed{V_{demi-sph\grave{e}re}=\dfrac{2}{3}\pi x^3}[/tex]
D'où
[tex]V_{bouteille}=V_{demi-sph\grave{e}re}+V_{cylindre}\\\\\boxed{V(x)=\dfrac{2}{3}\pi x^3+75\pi x^2}[/tex]
En arrondissant π à 3, nous obtenons :
[tex]\boxed{V(x)=2x^3+235x^2}[/tex]
Partie B
[tex]f(x)=2x^3+235x^2\ \ avec\ \ x\in[8,4\ ;10,2][/tex]
1) Dérivée f'.
[tex]f'(x)=(2x^3+235x^2)'\\\\f'(x)=(2x^3)'+(235x^2)'\\\\f'(x)=2\times3x^2+235\times2x\\\\\boxed{f'(x)=6x^2+470x}[/tex]
2) [tex]2)\ f'(x)=6x^2+470x\\\\f'(x)=6x\times x+470\times x\\\\\boxed{f'(x)=x(6x+470)}[/tex]
3) signe de f'(x)
[tex]x\in[8,4\ ;10,2]\Longrightarrow8,4\le x\le10,2\\\\\Longrightarrow x\ \textgreater \ 0\ \ et\ \ 6x+470\ \textgreater \ 0[/tex]
Par conséquent,
[tex]Si\ x\in[8,4\ ;10,2],\ alors\ \boxed{f'(x) \ \textgreater \ 0}[/tex]
4) Tableau de variation de f sur l'intervalle [8,4 ; 10,2]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&8,4&&&&&&10,2 \\ Signe\ de\ f'(x)&&&&+&&&\\Variation\ de\ f&17767,008&&&\nearrow&&&26571,816\\ \end{array}[/tex]
5) Tableau de valeurs de f
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} x&8,4&8,8&9&9,5&10,2 \\ f(x)&17767&19561&20493&22924&26572\\ \end{array}[/tex]
6) Graphique en pièce jointe.
7) Graphiquement, nous pouvons voir que 25 500 est l'image de 10 par la fonction f.
Par conséquent,
f(x) = 25 500 si x = 10.
Partie C
1) Le diamètre d'une bouteille de plongée est donnée par 2x puisque x est le rayon du cylindre.
Or, selon la question précédente, f(x) = 25 500 si x = 10.
si x = 10, alors 2x = 20.
D'où,
le diamètre d'une bouteille de plongée dont le volume est 25 500 cm³ est égale 20 cm.
2) Capacités minimale et maximale des bouteilles fabriquées par cette entreprise.
Selon la variation de la fonction f et le tableau donné dans la question 5,
le volume minimal = 11 767 cm³ = 11,767 dm³
Or 1 dm³ = 1 litre.
D'où la capacité minimale est de 11,767 litres
Le volume maximal = 26 572 cm³ = 26,572 dm³
D'où la capacité maximale est de 26,572 litres.
En arrondissant les résultats à 10⁻¹,
capacité minimale : 11,8 litres
capacité maximale : 26,6 litres.
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