Bonjour BACSKIP
[tex]1)\ \dfrac{2x+1}{5-3x}\le0[/tex]
Tableau de signes du quotient.
2x + 1 = 0 ==> 2x = -1
==> x = -1/2
5 - 3x = 0 ==> 3x = 5
==> x = 5/3
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-\frac{1}{2}&&\frac{5}{3}&&+\infty \\ 2x+1&&-&0&+&+&+&\\5-3x&&+&+&+&0&-&\\\frac{2x+1}{5-3x}&&-&0&+&||&-&\\ \end{array}\\\\\\\dfrac{2x+1}{5-3x}\le0\Longleftrightarrow x\in\ ]-\infty;-\dfrac{1}{2}]\ \cup\ ]\dfrac{5}{3};+\infty[[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=]-\infty;-\dfrac{1}{2}]\ \cup\ ]\dfrac{5}{3};+\infty[}[/tex]
2) Soit x et (x+1) deux nombres entiers naturels tels que [tex]\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{2070}[/tex]
Résolvons l'équation [tex]\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{2070}[/tex]
[tex]\dfrac{x+1}{x(x+1)}-\dfrac{x}{x(x+1)}=\dfrac{1}{2070}\\\\\dfrac{x+1-x}{x(x+1)}=\dfrac{1}{2070}\\\\\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{2070}[/tex]
"Produit en croix"
[tex]x(x+1)=2070[/tex]
Décomposons 2070 en ses facteurs premiers.
[tex]2070 = 2\times3^2\times5\times23\\\\2070 = 2\times9\times5\times23\\\\2070 =(9\times5)\times(2\times23)\\\\\boxed{2070=45\times46}[/tex]
On en déduit que [tex]n(n+1)=2070\Longleftrightarrow45\times46=2070[/tex]
D'où n = 45 et n+1 = 46.
Par conséquent, les deux nombres cherchés sont 45 et 46.
