1. a. On fait un tableau de variation:
| x | 1 +∞ |
| f'(x) | + |
| f(x) | 1 ↑ 4 |
b. f(1) = 1 donc comme f est croissante, pour tout x appartenant à [1 ; +oo[, f(x) est supérieur ou égal à 1.
2. Essaies de faire l'initialisation.
Puis, tu dois montrer que Un >= 1
Tu montres d'avord que U0 est vraie ainsi que U.
Ensuites, tu suppose donc que cela est vraie au rang n, donc que Un >= 1 (c'est ton hypothèse)
Reste à prouver que Un+1>=1
Or Un+1 = f(Un),
Tu as prouver auparavant que f(x)>= 1 pour tout x>=1
Donc en particulier pour x = Un qui par hypothèse est supérieur ou égal à 1
f(Un) >=1
Donc Un+1>=1
D'après le principe de récurrence on en déduit que Un>=1 pour tout x>=1.
3. Il faut étudier le signe de Un+1 - Un
Par récurrence :
On montre que cela est vraie au rang 1 et 0 :
U0>U1
On suppose que cela est vraie au rang n, Un+1 < Un (c'est l'hypothèse)
On montre alors que Un+2 < Un+1 :
Un+2 - Un+1 = f(Un+1) - f(Un),
Or Un>1 Un+1>1 (démontré auparavant),
Par hypothèse Un+1 < Un
Comme f est croissante, => f(Un+1) < f(Un), soit f(Un+1) - f(Un) < 0, <=> Un+2 - Un+1 < 0, <=> Un+2 < Un+1,
D'après le principe de récurrence la suite (Un)n est décroissante.
