Bonjour Yacine931
Question 2
[tex]v_n=4u_n-8n+24[/tex]
a) Montrons que (Vn) est une suite géométrique....
[tex]v_{n+1}=4u_{n+1}-8(n+1)+24\\\\v_{n+1}=4(\dfrac{1}{2}u_n+n-1)-8(n+1)+24\\\\v_{n+1}=2u_n+4n-4-8n-8+24\\\\v_{n+1}=2u_n-4n+12\\\\v_{n+1}=\dfrac{1}{2}(4u_n-8n+24)\\\\\boxed{v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n}[/tex]
D'où, (Vn) est une suite géométrique de raison 1/2.
Calcul du premier terme V0.
[tex]v_0=4u_0-8\times0+24=4\times1-0+24=4+24=28[/tex]
Par conséquent, (Vn) est une suite géométrique de raison 1/2 et dont le premier terme est V0 = 28
La suite (Vn) est strictement croissante car V0 > 0 et la raison 1/2 est comprise entre 0 et 1.
b) Exprimons Vn en fonction de n.
[tex]v_n=v_\times q^n\\\\\boxed{v_n=28\times(\dfrac{1}{2})^n}[/tex]
Ensuite,
[tex]v_n=4u_n-8n+24\\\\28(\dfrac{1}{2})^n=4u_n-8n+24\\\\4u_n=28(\dfrac{1}{2})^n+8n-24\\\\u_n=\dfrac{1}{4}[28(\dfrac{1}{2})^n+8n-24]\\\\u_n=\dfrac{28}{4}(\dfrac{1}{2})^n+\dfrac{8}{4}n-\dfrac{24}{4}\\\\\boxed{u_n=7(\dfrac{1}{2})^n+2n-6}[/tex]
[tex]c)\ u_n=x_n+y_n\ \ avec\ \ x_n=7(\dfrac{1}{2})^n\ \ et\ \ y_n=2n-6[/tex]
La suite (Xn) est une suite géométrique de raison 1/2 et dont le premier terme est 7
La suite (Yn) est une suite arithmétique de raison 2 et dont le premier terme est -6.
[tex]d)\ S_n=\sum\limits_{k=0}^nu_k\\\\S_n=\sum\limits_{k=0}^nx_k+\sum\limits_{k=0}^ny_k[/tex]
En appliquant les formules des sommes de termes d'une suite géométrique et d'une suite arithmétique, nous obtenons :
[tex]\sum\limits_{k=0}^nx_k=7\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^n}{1-\dfrac{1}{2}}\\\\\sum\limits_{k=0}^nx_k=7\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^n}{\dfrac{1}{2}}\\\\\sum\limits_{k=0}^nx_k=7\times[1-(\dfrac{1}{2})^n]\times\dfrac{2}{1}}\\\\\sum\limits_{k=0}^nx_k=14\times[1-(\dfrac{1}{2})^n]\\\\\boxed{\sum\limits_{k=0}^nx_k=14-14(\dfrac{1}{2})^n}[/tex]
[tex]\sum\limits_{k=0}^ny_k=(n+1)\times\dfrac{-6+(2n-6)}{2}\\\\\sum\limits_{k=0}^ny_k=(n+1)\times\dfrac{2n-12}{2}\\\\\sum\limits_{k=0}^ny_k=(n+1)\times\dfrac{2(n-6)}{2}\\\\\sum\limits_{k=0}^ny_k=(n+1)\times(n-6)\\\\\sum\limits_{k=0}^ny_k=n^2-6n+n-6\\\\\boxed{\sum\limits_{k=0}^ny_k=n^2-5n-6}[/tex]
D'où
[tex]S_n=\sum\limits_{k=0}^nx_k+\sum\limits_{k=0}^ny_k\\\\S_n=14-14(\dfrac{1}{2})^n+n^2-5n-6\\\\\boxed{S_n=n^2-5n+8-14(\dfrac{1}{2})^n}[/tex]
