bonsoir
démonstration par récurrence
initialisationS0 = 0³ = 0
Sn=[n(n+1)] ² /2²
So= [0(0+1)] ² / 2² = 0×1 /4 = 0
donc c'est vrai au rang 0
héréditéon suppose que Sk=[k(k+1)] ² /2² est vraie pour k>0
il
faut montrer que la propriété est vraie pour l'entier suivant
c'est à dire que S(k+1) = [(k+1)×( (k+1)+1)]²/ 2²= [(k+1)( (k+2)] ²/ 4
démonstration :
S(k+1) = Sk + (k+1)³
=[k(k+1)] ²/2² +(k+1)³
on met au même dénominateur
=[k(k+1)]²/4 + 4(k+1)³/4
=[k(k+1)]² + 4(k+1)³] / 4
on met (k+1)² en facteur
=[k²(k+1)² + 4(k+1)³] / 4
=(k+1)² [ k² +4(k+1)] /4
=(k+1)² ( k² +4k+4)] /4 identité remarquable (k+2)²
=(k+1)² ( k+2)² ] /4
=[(k+1) ( k+2) / 2] ²
donc la propriété est vraie au rang k+1
la
propriété est héréditaire
conclusion
proposition
vraie pour k =0
par hérédité elle est vraie pour l'entier
supérieur
elle est donc vraie pour tout nombre entier n, n≥0
