Bonjour,
Partie A
1)a) R(x) = 1,5x ==> R(2) = 1,5.2 = 3 donc recette 3000 €
b) R(x) est une fonction linéaire. Donc la droite qui la représente par l'origine O du repère.
On place M(2;3) et on trace OM (jusqu'au point d'abcisse 5)
2) a) Bénéfice > 0 ==> C(x) < R(x)
Pas trop facile à lire sur l'image... je dirai x appartient à ]0,6 ; 4,5[
b) x=2 ==> C(2) = 1,3 environ et R(2) = 3 ==> B(2) = 1,7 environ.
c) Pour x = 2,75 environ, l'écart entre les deux courbes est le plus grand
==> Bmax = R(2,75) - C(2,75) = 4,1 - 2 = 2,1 environ
Partie B
1) B(x) = R(x) - C(x)
= 1,5x - x^2 + 2xln(x)
B(2) = 3 - 4 + 4ln(2) = -1 + 4ln(2) = 1,77
On avait lu 1,7
2) B'(x) = 1,5 - 2x + 2[1.ln(x) + x.1/x]
= 1,5 - 2x + 2(ln(x) +1)
= 1,5 - 2x + 2ln(x) + 2
= 2ln(x) -2x + 3,5
3)a) Sur [0,25 , 1] B'(x) est croissante ET B(0,25) = y1 > 0 ET B(1) = 1,5
Donc B'(x) ne s'annule jamais sur cet intervalle.
Sur [1,5], B'(x) est décroissante ET B(1) = 1,5 ET B(5) = y2 < 0
Donc il existe une valeur a (alpha) appartenant à [1,5] tel que B'(a) = 0
On admet a = 2,77
b)
x 0,25 1 2,77 5
B'(x) y1 + 1,5 + 0 - y2
B(x) Croissante 2,126 Décroissante
4)a) B(x) est maximal pour x = 2,77 soit pour une production de 277 litres.
B(2,77) = 2,126 soit un bénéfice de 2126 €
b) OUI
on avait trouvé x = 2,75 au lieu de 2,77
et Bmax = 2,1 au lieu de 2,126
