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résolu

René doit calculer 6,52. Zoé lui dit : « Tu n’as pas besoin de prendre la calculatrice, tu n’as qu’à effectuer
le produit de 6 par 7 et rajouter 0,25 ».
1) Effectuer le calcul proposé par Zoé et vérifier que le résultat est bien le carré de 6,5.
2) Proposer alors une façon simple de calculer 8,52 sans calculatrice.
3) Zoé propose la conjecture suivante : « (n + 0, 5)2 = n(n +1)+ 0, 25 où n est un nombre entier positif ».
Prouver que la conjecture de Zoé est vraie (quel que soit le nombre n).

Répondre :

1) 6.5²=42.25
    6*7+0.25=42.25
2)8*9+0.25=72.25
3)
On considère un nombre entier positif n.
Pour tous nombres a et b, on a cette identité remarquable(a + b)² = a² + 2ab + b².
(n + 0,5)2 =n2 + n + 0,25 = n(n + 1) + 0,25.
L'égalité est vraie pour tout nombre entier positif n, donc la conjecture de Julie est vraie pour tout nombre entier positif n.
1)  6 × 7 + 0,25 = 42,25 = 6,5²
2) 8,5² = (8 + 0,5)² = 8² + 2×0,5×8 + 0,5² = 64 + 8 + 0,25 = 72,25
3) (n + 0,5)² = n² + 2×0,5×n + 0,5² = n² + n + 0,25 = n(n + 1) + 0,25
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