Bonjour,
la fonction valeur absolue retourne toujours une valeur positive, alors f est définie sur |R
x: ] -∞ -4 0 +∞[
x - - 0 +
x+4 - 0 + +
x(x+4) + 0 - 0 +
x²+4x + 0 - 0 +
|x²+4x| = x²+4x -x²-4x x²+4x
lim f quand x→ +∞ = lim x+1 + lim √x²+4x = +∞ +∞ = +∞
lim f quand x →-∞ = lim x+1 + lim √x²+4x = -∞ +∞ cas indéterminé
on multiplie par la partie conjuguée :
lim x→-∞ = (x+1+√x²+4x) (x+1 - √x²+4x) / (x+1-√x²+4x) =
(x+1)² - (x²+4x) / (x+1- √x² +4x²/x) = x²+1+2x-x²-4x /(x+1-√x²(1+4/x))
= -2x+1 / (x+1-|x| √1+4/x) or quand x →-∞ |x| =-x
= -2x +1 / (x+1+x√1+4/x) or lim 4/x quand x→ -∞ = 0
il reste : -2x+1 /2x+1 et lim f quand x →-∞ = -1
dérivabilité en 0+
f(x)-f(0) / x-0 = (x+ √x²+4x) / x avec x tend vers 0 , alors 0/0 même principe que la limite et on obtient 1+ √1+4/x donc lim quand x tend vers 0+ est + ∞
dérivabilité en 0- = x+√-x²-4x /x on obtient 1+ √1-4/x , lim = +∞
f n'est pas dérivable en 0
dérivabilité en -4 - : x+4 +√x²+4x /x+4 ça donne 0/0
on obtient 1 - √(-x) /√-x-4, alors lim quand x tend vers -4- = -∞
idem en -4+ , f n'est pas dérivable en -4
x ∈ ]-∞ ; -4 [ ∪ ]0 ; +[ , f'(x) = 2x+4 / 2√x²+4x +1 = (x+2) / √x²+4x +1 =
x+2 + √x²+4x / √x²+4x
f' n'est pas définie en 0 et -4,
x ∈]-4 ; 0[ , f'(x) = -2x-4 / 2√-x²-4x + 1 = (-x-2 ) / √-x²-4x +1 =
-x-2 +√-x²-4x / √-x²-4x
Le signe de f' sur ]-∞ ; -4 [ :
f'(x) = x+2 + √x²+4x / √x²+4x , le dénominateur est positif,
x+2 + √x²+4x > 0 => √x²+4x > -x-2 , or sur l'intervalle -x-2 > 0 car x <-2
x²+4x > (-x-2)² => x² +4x > x² +4 +4x, ce qui est faux donc f'(x) est négatif
Le signe de f' sur ] 0 ; +∞[ x > -2 alors -x-2 <0 donc comme √x²+4x >0, alors f'(x) est positif
Le signe de f'(x) sur ] -4 ; 0[
f'(x) = -x-2 +√-x²-4x / √-x²-4x, le dénominateur est positif
-x-2 +√-x²-4x > 0 => √-x²-4x > x+2
si x <-2 , alors f'(x) est positif
si x > -2 , alors -x²-4x > (x+2)² => -x²-4x > x² +4 +4x => 2x²+8x+4 < 0 =>
x² +4x+2 < 0 2 racines x1 = -2-√2 non valable et x2 = -2+√2≈-0.59
f'(x) est négatif entre -2+√2 et 0
en résumé :
x : -∞ -4 -2 -2+√2 0 +∞
f'(x) - || + + - || +
f est croissante sur ] -4 ; -2+√2[ ∪ ]0 ; +∞[
