Bonjour, j'avais déjà répondu à cet exercice donc je vais recommencer.
1) Pour résoudre cette question, nous allons partir de la partie droite de la relation pour en retrouver la partie gauche (je te conseille de faire la contraire pour t'exercer):
4+(a+1/a)(b+1/b)(1+1/c)
=4+(ab+a/b+b/a+1/ab)(c+1/c)
=4+(abc+ac/b+bc/a+c/ab+ab/c+a/bc+b/ac+1/abc)
=4+(1+1/b²+/a²+c²+1/c²+a²+b²+1)
=6+a²+b²+c²+1/a²+1/b²+1/c²
=a²+2+1/a²+b²+2+1/b²+c²+2+1/c²
=a²+2a/a+1/a²+b²+2b/b+1/b²+c²+2c/c+1/c²
=(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²------>CQFD
2)a) D'après l'énoncé, on a x et y ∈ (R+)²:
(√x+√y)²=x+y+2√(xy)
comme la fonction √ est croissante sur R+ donc:
√(√x+√y)²=√(x+y+2√(xy))
√x+√y=√(x+y+2√(xy))
b) Pour démontrer cette inégalité, je te propose d'étudierr le carré de la différence des racines de x et y donc:
(√x-√y)²≥0 car un carré est toujours positif sur R+
x+y-2√(xy)≥0
x+y≥2√(xy)-----> CQFD
On va supposer que x=y donc on a:
x+y=x+x=2x et 2√(xy)=2√(x*x)=2√x²=2x donc on a x+y=2√(xy) si x=y
c) Soit x,y et z ∈ (R+)³, d'après b, on a la relation suivante entre x et y:
x+y≥2√(xy) (1)
On réalise le même raisonnement en x et z ainsi qu'entre y et z ce qui donne:
x+z≥2√(xz) (2)
y+z≥2√(yz) (3)
Ensuite, nous réalisons un produit membre à membre des inégalités (1), (2) et (3) donc:
(x+y)(x+z)(y+z)≥2√(xy)*2√(xz)*2√(yz)
(x+y)(y+z)(x+z)≥2³√(x²y²z²)
(x+y)(y+z)(x+z)≥8√(xyz)²
(x+y)(y+z)(x+z)≥8xyz
Voilà, j'ai terminé, ne te contente pas de recopier mais essaie de comprendre la démarche.
