Bonjour Antoinepierson,
Exercice 41
1) AE = BF = CG = DH = x
ED = BG = 4 - x
AF = HC = 8 - x
Nous savons que :
[tex]Aire_{triangle\ AFE}=\dfrac{AF\times AE}{2}\Longrightarrow\boxed{Aire_{triangle\ AFE}=\dfrac{(7-x)x}{2}}\\\\\\Aire_{triangle\ CGH}=\dfrac{HC\times CG}{2}\Longrightarrow\boxed{Aire_{triangle\ CGH}=\dfrac{(7-x)x}{2}}\\\\\\Aire_{triangle\ BFG}=\dfrac{BF\times BG}{2}\Longrightarrow\boxed{Aire_{triangle\ BFG}=\dfrac{x(4-x)}{2}}\\\\\\Aire_{triangle\ DEH}=\dfrac{DH\times DE}{2}\Longrightarrow\boxed{Aire_{triangle\ DEH}=\dfrac{x(4-x)}{2}}[/tex]
D'où
[tex]Aire_{AFE}+Aire_{CGH}+Aire_{BFG}+Aire_{DEH}\\\\=2\times\dfrac{(7-x)x}{2}+2\times\dfrac{x(4-x)}{2}\\\\=(7-x)x+x(4-x)\\\\=7x-x^2+4x-x^2\\\\=-2x^2+11x\\\\\\\Longrightarrow\boxed{Aire_{AFE}+Aire_{CGH}+Aire_{BFG}+Aire_{DEH}=-2x^2+11x}[/tex]
2) L'aire f(x) du quadrilat!re EFGH est égale à la différence entre l'aire du rectangle ABCD et la somme des aires des 4 triangles.
Or l'aire du rectangle ABCD = 7 × 4 = 28 (m²).
Donc
[tex]f(x)=28-(-x^2+11x)\\\\f(x)=28+x^2-11x\\\\\boxed{f(x)=2x^2-11x+28}[/tex]
3) L'aire de l'espace fleuri sera égale à 19 m² si l'équation f(x) = 19 admet ne solution.
[tex]f(x)=19\\\\2x^2-11x+28=19\\\\2x^2-11x+28-19=0\\\\2x^2-11x+9=0\\\\\Delta=(-11^)2-4\times2\times9=121-72=49\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{11-\sqrt{49}}{2\times2}=\dfrac{11-7}{4}=\dfrac{4}{4}=1\\\\x_2=\dfrac{11+\sqrt{49}}{2\times2}=\dfrac{11+7}{4}=\dfrac{18}{4}=\dfrac{9}{2}=4,5[/tex]
Or la valeur x = 4,5 est à exclure car x doit être inférieur à la largeur du rectangle, soit x < 4.
Par conséquent, l'aire de l'espace fleuri sera égale à 19 m² si x = 1 m.
4) L'aire de la parte fleurie sera minimale si [tex]x=[\dfrac{-b}{2a}]=\dfrac{11}{4}=2,75\ m\grave{e}tres.[/tex]
