1) On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABE :
AE² = AB² + BE²
= 5² + 10²
= 25 + 100
= 125
AE = √125
= 5√5
2) Soit F le symétrique de A par rapport à D.
On obtient alors que le quadrilatère ABEF est un rectangle. Un rectangle est un quadrilatère dont ses diagonales se coupent en leur milieu. Du coup, AE et BF se coupent en leur milieu, qui est I.
Donc I est le milieu de AE
3) On applique encore le théorème de Pythagore mais dans le triangle ICE :
IE² = IC² + CE²
IC² = IE² - CE²
= (5√5/2)² - 5² IE = AE/2 = 5√5/2
= 125/4 - 25
= 6.25
IC = √6.25 = 2.5
4) I appartient au segment DC. DC fait 5 cm et IC fait 2.5cm. On en déduit alors que I est le milieu de CD.
Le quadrilatère ACED a donc ses diagonales (AE et CD) qui se coupent en leur milieu, donc ACED est un parallélogramme.
5) On utilise le théorème de Pythagore puis sa réciproque :
BD² = 50 (Pythagore)
DE² = 50 (Pythagore)
BE = 10 donc BE² = 100
Réciproque : On remarque que BD² + DE² = BE² !
Donc le triangle BED est rectangle en D !
Voilà ! :)
