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résolu

Bonjour :D
Soit le polynôme P(x)=1/2 x² - 1/2 x
1.Montrer que pour tout n £ N: P(n+1)-P(n)
2. En deduire que pour tout n £ N*: 1+2+3+4+5+....+n=n(n+1)/2
3.Calculer la somme : 1+2+3+4+5+.....2017
Merci en avance de m'avoir aider


Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1) P(n+1) - P(n)

= [(n+1)²/2 - (n+1)/2] - [n²/2 - n/2]

= 1/2 x [n² + 2n + 1 - n - 1 - n² + n]

= 1/2 x 2n

= n

2) 1 + 2 + 3 + .... + n

= [P(2) - P(1)] + [P(3) - P(2)] + .....+ [P(n) - P(n-1)]  + [P(n+1) - P(n)]

= P(n+1) - P(1)

= 1/2[(n+1)² - (n+1)] - 1/2[1² - 1]

= 1/2(n² + 2n + 1 - n - 1)

= 1/2(n² + n)

= n(n + 1)/2

3) 1 + 2 + ... + 2017

= 2017 x (2017 + 1)/2

= 2017 x 1009

= 2 035 153
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