Bonjour,
I) h(t) = -0,5t² + 2,1t + 2
1)a) h(t) =-0,5(t² - 4,2t) + 2
⇔ h(t) ) = -0,5(t - 2,1)² - (2,1)²/(-0,5) + 2
⇔ h(t) = -0,5t(t - 2,1)² + 4,205
b) h(t) = 0
⇔ -0,5(t - 2,1)² + 4,205 = 0
⇔ (t - 2,1)² = 4,205/0,5
⇔ t - 2,1 = √(8,41) ou t - 2,1 = -√(8,41)
⇔ t = 2,9 + 2,1 ou t = -2,9 + 2,1
Soit t = 5 ou t = -0,8
On en déduit : h(t) = -0,5(t - 5)(t + 0,8)
2)
a) h(t) = 2
⇔ -0,5t² + 2,1t + 2 = 2
⇔ -0,5t² + 2,1t = 0
⇔ -0,5t(t - 4,2) = 0
⇒ (t = 0 départ de la balle) et t = 4,2 s
b) D'après la forme canonique, h(t) atteint son maximum pour t = 2,1 s
et h(2,1) = 4,205 m
c) h(t) = 0
⇔ -0,5(t - 5)(t + 0,8) = 0
⇒ t = 5 s (L'autre solution t = -0,8 n'a pas de sens car négative)
II)
C(x) = x³ - 60x² + 1500x + 2000 pour x ∈ [0;50]
1)a) (x - 20)³
= (x - 20)(x - 20)²
= (x - 20)(x² - 40x + 400)
= x³ - 40x² + 400x - 20x² + 800x - 8000
= x³ - 60x² + 1200x - 8000
b) (x - 20)³ + ax + b = C(x)
⇔ x³ - 60x² + 1200x - 8000 + ax + b = x³ - 60x² + 1500x + 2000
⇔ (1200 + a)x - 8000 + b = 1500x + 2000
⇒ a = 300 et b = 10000
Soit C(x) = (x - 20)³ + 300x + 10000
2) Soit u(x) = x - 20, v(x) = x³ et w(x) = 300x + 10000
C(x) = v[u(x)] + w(x) = vou(x) + w(x)
u est croissante sur R, donc sur [0;50]
v est croissante sur R, donc sur [0;50]
et w est croissante sur R, donc sur [0;50]
⇒ C = vou + w est croissante sur [0;50]
Les coûts de production croissent avec les quantités produites.
3)a) B(x) = R(x) - C(x)
⇒ B(x) = 1200x - (x³ - 60x² + 1500x + 2000)
⇔ B(x) = -x³ + 60x² - 300x - 2000
(10 - x)(x² - 50x - 200)
= 10x² - 500x - 2000 - x³ + 50x² + 200x
= -x³ + 60x² - 300x - 2000
= B(x)
b) Racines de (x² - 50x - 200) sur [0;50] :
Δ = (-50)² - 4x1x(-200) = 2500 + 800 = 3300 = (10√33)²
donc x = (50 - 10√33)/2 ≈ -3,7 ∉ [0;50]
et x = (50 + 10√33)/2 ≈ 53,7 ∉ [0;50]
Donc sur [0;50], x² - 50x - 200 < 0
⇒ Signe de B(x) :
x 0 10 50
(10 - x) + 0 -
(x²-50x-200) - -
B(x) - 0 +
c) ⇒ B(x) ≥ 0 pour x ∈ [10;50]
Donc l'entreprise doit fabriquer et vendre au moins 10 canapés par jour pour réaliser des bénéfices.
