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résolu

SVP
Une galerie d’arts va bientôt fêter
ses 20 ans d’existence. Pour cette occasion, son propriétaire
x souhaite décorer la pièce principale d’un immense tableau
de 4 mètres sur 3. Le peintre chargé de sa réalisation pense
x que, pour être harmonieux, ce grand tableau devra respecter 4
la condition suivante : l’aire du contour blanc devra être égale
à l’aire de la partie peinte en gris… On désigne par x la
largeur du contour (en mètres).
1) Exprimer l’aire du contour et
l’aire de la partie peinte à l’aide de x.
2) Montrer que la condition proposée
par le peintre est réalisée si et seulement si : 2x2 – 7x + 3 =
0.
3) On considère la fonction f définie
pour tout réel x ∈ [0 ; 3] par : f(x) = 2x2 – 7x + 3.
Représenter graphiquement la fonction f dans un repère en prenant 5
cm pour 1 unité en abscisses et 2 cm pour 1 unité en unité.
Déterminer graphiquement les solutions de l’équation f(x) = 0.
Quelle largeur de la bande le peintre
devra-t-il choisir ?

Répondre :

CROISIERFAMILYVIZ
1°) Aire contour = 4 mètres * 2x + ( 3 - 2x ) * 2x = 8x + 6x - 4 x² = 14 x - 4 x²
      Aire peinte = ( 4 - 2x ) * ( 3 - 2x ) = 12 - 8x - 6x + 4 x² = 12 - 14 x + 4 x²

2°) on veut ces deux Aires égales, donc :
     4 x² - 14 x + 12 = 14 x - 4 x²
     8 x² - 28 x + 12 = 0
     divisons par 4 :
     2 x² - 7 x + 3 = 0

3°) Xmaxi = 3 mètres / 2 = 1,5o mètre ;
     on nous demande d' étudier quand même f(x) pour 0 < x < 3
      la courbe tracée est une Parabole "en U" car le coefficient de x² est positif ( 2 > 0 )

4°) on lit graphiquement que f(x) = 0 donne x = 0,5   OU   x = 3
      La seule valeur à retenir est x = 0,5o mètre car x > 1,5o mètre n' a pas de sens !
      Vérifions : Acontour = 14 * 0,5 - 4 * 0,5² = 7 - 4 * 0,25 = 7 - 1 = 6 m²
                       Apeinte = 12 - 14 * 0,5 + 4 * 0,5² = 12 - 7 + 4 * 0,25 = 5 + 1 = 6 m²
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