Bonjour,
Partie A
1) lim f(x) quand x → +∞
= lim (x - 1)e²ˣ + x + 1
= +∞
lim f(x) quand x → -∞
lim xe²ˣ = 0 (théorème croissances comparées)
lim e²ˣ = 0
donc lim f(x) = lim (x + 1) = -∞
2) f'(x) = e²ˣ + 2xe²ˣ - 2e²ˣ + 1 = 2xe²ˣ + 1
3) f'(x) > 0
4) ⇒ f strictement croissante
5) f(0) = 0
6)
x -∞ 0 +∞
f'(x) + +
f(x) -∞ croissante 0 croissante +∞
f(x) - 0 +
Partie B
g(x) = (eˣ - e⁻ˣ)/x si x ≠ 0
et g(0) = 2
1) lim g(x) quand x → 0
g(x) = (eˣ - e⁻ˣ)/x
= (eˣ - 1 - e⁻ˣ + 1)/x
= (eˣ - 1)/x - (e⁻ˣ - 1)/x
= (eˣ - e⁰)/(x - 0) - (e⁻ˣ - e⁰)/(x - 0)
(eˣ - e⁰)/(x - 0) est le taux d'accroissement de la fonction eˣ en x = 0, donc le nombre dérivé de eˣ en x = , soit e⁰ = 1
et de même (e⁻ˣ - e⁰)(x - 0) est le nombre dérivé de la fonction e⁻ˣ en x = 0
soit -e⁰ = -1
Donc lim g(x) quand x → 0 = 1 - (-1) = 2
et g(0) = 2
donc g est continue en x = 0
2) g est dérivable sur R*
Dérivabilité en x = 0 : Taux d'accroissement de g en x = 0
T = [g(x) - g(0)]/(x - 0)
= [(eˣ - e⁻ˣ)/x - 2]/x
= {eˣ - e⁻ˣ - 2x]/x
lim T quand x → 0
= 0 (je ne détaille pas...)
donc limite finie
⇒ g est dérivable en 0
3) lim g(x) quand x → +∞ = lim eˣ/x (car lim -e⁻ˣ = 0) = +∞
lim g(x) quand x → -∞ = lim -e⁻ˣ/x = +∞
4) g'(x) = [(eˣ + e⁻ˣ)x - (eˣ - e⁻ˣ]/x²
= (xeˣ + xe⁻ˣ - eˣ + e⁻ˣ)/x²
= (xeˣ + x/eˣ - eˣ + 1/eˣ)/x²
= (xe²ˣ + x - e²ˣ + 1)/x²eˣ
= f(x)/x²eˣ
et je te laisse finir ...
