Bonsoir ;
1)
La fonction f est une fonction rationnelle qui est définie quand
son dénominateur est non nul .
Le dénominateur de cette fonction rationnelle est : x - 1 ;
qui est nul pour : x = 1 ;
donc : Df = ] - ∞ ; 1 [ ∪ ] 1 ; + ∞ [ .
2)
x² - 4x - 5 = x² - 2 * 2 * x + 2² - 2² - 5 : on a ajouté 2² et retranché 2² ;
= (x² - 2 * 2 * x + 2²) - 4 - 5 : (x² - 2 * 2 * x + 2²) est une identité remarquable ;
= (x - 2)² - 9 : forme canonique de f .
Les antécédents x de 0 sont tels que :
f(x) = 0 ;
donc : (x - 2)² - 9 = 0 ;
donc : (x - 2)² - 3² = 0 : (x - 2)² - 3² est une identité remarquable ;
donc : (x - 2 - 3)(x - 2 + 3) = 0 ;
donc : (x - 5)(x + 1) = 0 ;
donc : x - 5 = 0 ou x + 1 = 0 ;
donc : x = 5 ou x = - 1 ;
donc les antécédents de 0 sont : - 1 et 5 .
3)
Pour le tableau de signe de f , veuillez-voir le fichier ci-joint .
4)
La fonction g est définie si son dénominateur x² - 4x - 5 est non nul ;
donc si : x ≠ - 1 et x ≠ 5 ;
donc : Dg = ] - ∞ , - 1 [ ∪ ] - 1 ; 5 [ ∪ ] 5 ; + ∞ [ .
La fonction h est définie sur l'intervalle où f est positive ou nulle ;
donc : Dh = [ - 1 ; 1 [ ∪ [ 5 ; + ∞ [ .
5)
x - 3 - 8/(x - 1) = ((x - 1)(x - 3) - 8)/(x - 1)
= (x² - 3x - x + 3 - 8)/(x - 1)
= (x² - 4x - 5)/(x - 1) ;
et comme cette expression est définie sur Df ;
donc f et cette expression sont définies sur le
même domaine de définition et ont la même
expression en x ; dont elles sont égales .
6)
La fonction d'expression : x → x - 3 est une fonction affine ;
et comme le coeffient associé à x est : 1 > 0 ;
cette fonction est strictement croissante sur IR ;
donc sur : ] - ∞ ; 1 [ ∪ ] 1 ; + ∞ [ .
La fonction d'expression : x → - 8/(x - 1) est une fonction homographique ;
et comme son déterminant est : 0 + 8 > 0 ;
cette fonction est strictement croissante sur : ] - ∞ ; 1 [ ∪ ] 1 ; + ∞ [ .
7)
La somme de deux fonctions croissantes sur le même intervalle est croissante sur cette intervalle .
Sur Df , f est la somme des fonctions d'expressions respectives
x - 3 et - 8(x - 1) ;
et comme ces deux fonctions deux fonctions sont strictement
croissantes sur Df ; donc f est strictement croissante sur Df .
