la suite (u) correspond la série harmonique ∑1/n
1)a) algorithme
variables
N,K est entier
U est réel
début
lire N
U←0
Pour K=1 à N
U←U+1/K
Afficher U
fin Pour
fin
b) on programme cet algo sur CASIO ou TI
2)a) on pose f(x)=ln(1+x)-x
f'(x)=1/(1+x)-1
=(1-1-x)/(1+x)
=-1/(1+x)
donc pour tout x>0 : f'(x)<0
donc f est décroissante sur [0;+∞[
or f(0)=0 donc pour tout x>0 : f(x)≤f(0) soit f(x)≤0
ainsi pour tout x>0 : ln(1+x)-x≤0
donc pour tout x>0 : ln(1+x)≤x
b) on pose x=1/n
donc pour tout n>0 : ln(1+1/n)≤1/n
donc ln((n+1)/n)≤1/n
donc ln(n+1)-ln(n)≤1/n
c) d'après ce qui précède on obtient :
ln(2)-ln(1)≤1/1
ln(3)-ln(2)≤1/2
ln(4)-ln(3)≤1/3
.... ....
ln(n+1)-ln(n)≤1/n
on somme membre à membre donc
ln(n+1)-ln(1)≤1+1/2+1/3+...+1/n
donc ln(n+1)≤u(n)
donc pour tout entier n : u(n)≥ln(n+1)
3) on sait que lim(ln(n+1))=+∞ si n→+∞
donc par limite comparée : lim(u(n))=+∞ si n→+∞
conclusion : la suite (u) diverge (faiblement) vers +∞
Rque : la suite v(n)=u(n)-ln(n) converge [elle] vers la constante d'Euler "gamma" : γ ≈ 0,577 215 664 9.
