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résolu

Bonjour tout le monde , j'éspère que vous passez une bonne journée ! Désolé , d'utiliser souvent ce forum j'ai pas mal de problème avec mon nouveau cours :c. Alors je bloque dans la derniere question de mon exercice : 1) J'ai résolu dans Z² l'équation 3x-2y=1. 2) J'ai montré que (14n+3;21n+4) est une solution de l'équation. 3)J'ai déduis que pgcd(14n+3;21n+4)=1. 4)On pose d=pgcd(2n+1;21n+4). a) J'ai montré que d=1 ou d=19. b) J'ai montré que d=13\Leftrightarrow n\equiv 6 [13]. 5) On pose A=21n²-17n-4 et B =28n^3-8n²-17n-3 / N appartient à N*-{1}. a) J'ai montré que n-1 est un diviseur commun de A et B. b) Et la question qui pose problème ! Déterminez pgcd(A,B) d'après le paramètre n.

Répondre :

CROISIERFAMILYVIZ
1°) 2y = 3x - 1 donc y = 1,5x - 0,5
      couple solution : ( x ; 1,5x-0,5 )
2°) si x = 14n+3 alors y = 21n+4,5-0,5 = 21n+4
      couple solution : ( 14n+3 ; 21n+4 )
3°) PGCD(14n+3 ; 21n+4) = ?
      PGCD(17 ; 25) = 1 ; PGCD(31 ; 46) = 1 ; PGCD(45 ; 67) = 1 ;
        PGCD(59 ; 88) = 1 ; PGCD(73 ; 1o9) = 1 ; PGCD(87 ; 13o) = 1 ; ...
      c' est normal car PGCD(nb premier ; autre nombre) = 1
           et PGCD(impair multiple de 3 ; nb premier OU non-multiple de 3) = 1
4°) d = PGCD(2n+1 ; 21n+4)
 4a) PGCD(impair ; 21n+4) = 1   OU   19  
 4b) d ≡ 13 [ modulo 6 ] ?
5°) A = 21 n² - 17n - 4 = (n-1)(21n + 4)
      B = 28 n³ - 8 n² - 17n - 3 = (n-1)(28 n² +20n + 3)
                                             = (n-1) (n+0,5) (28n+6)
      donc PGCD(A ; B) = 1   OU   PGCD(A;B) = PGCD(21n+4;28n+6)
                                                                      d ≡ 4 [ modulo 3 ]   
     conclusion : PGCD(A;B) = 1   OU   2 si n est pair !
es-tu d' accord ? ( je vais manger, à tout-à-l' heure ! )
    
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