enfantin !
Volume Cylindre = π R² h --> V / R = π R h --> 2V / R = 2 π R h
Aire "fond + couvercle" = 2 π R²
Aire "étiquette de la boîte de conserve" = 2 π R h
donc : Aire TOTALE du métal nécessaire = 2 π R² + 2 π R h
= 2 π R ( R + h )
ou Aire TOTALE = 2 π R² + 2V/R
étude de S(R) = 2πR² + 2V/R :
ensemble de définition = IR+*
car le Rayon est positif et doit être non-nul !
dérivée S ' (R) = 4πR - 2V/R² nulle pour 2πR = V/R²
R³ = V / 2π
R = ∛(V / 2π)
conclusion : le minimum de métal sera obtenu pour R ≈ 0,541926 ∛V
application à la mini-canette de soda de 25 cL = 25o mL = 25o cm³ :
R ≈ 0,541926 ∛25o ≈ 3,414 centimètres !
Vérifions :
Aire TOTALE ≈ 2π 3,414² + 5oo/3,414 = 73,233 + 146,456 ≈ 219,7 cm²
