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résolu

Bonjour, je dois étudier le sens de variation de la suite (un) définie par
un = n/ 2ⁿ

J'ai donc appliquer la formule un+1 - un

Mais je n'arrive pas à résoudre l'équation n+1/2ⁿ⁺¹ - n/2ⁿ

Merci d'avance.

Répondre :

GREENCALOGEROVIZ
Bonjour,
Nous allons étudier le signe de U(n+1)-U(n)donc
U(n+1)-U(n)
=(n+1)/2^(n+1)-n/2^n
=(1/2^n)[(n+1)/2-n)
=(1/2^n)(n/2+1/2-n)
=(1/2)^n×(1-n)/2
=[(1/2)^(n+1)](1-n)
Avec nEN, (1/2)^(n+1)≥0 ∀n. Le sens de variation va donc dépendre du signe de (1-n). On remarque que:
1-n≥0 si n≤1, on déduis alors que U(n) sera croissante sur cet intervalle.
1-n≤0 si n≥1 donc U(n) sera décroissante sur cet intervalle
Lorsqu'on a une suite qui se présente ainsi, il est plus judicieux d'étudier le signe de Un+1/Un
[tex] \dfrac{Un+1}{Un} = \\ \dfrac{\frac{n+1}{ 2^{n+1} }}{\frac{n}{ 2^{n} }} \\ = \dfrac{n+1}{ 2^{n+1} } *\dfrac{ 2^{n} }{n} \\ =\dfrac{n+1}{ 2^{n}*2 } *\dfrac{ 2^{n} }{n} \\ = \dfrac{n+1}{2n} [/tex]

Pour connaitre les variations de Un, il faut savoir quand Ce quotient est superieur a 1.
[tex] \dfrac{n+1}{2n} \geq 1 \\ \dfrac{n+1}{2n}-1 \geq 0 \\ \frac{n+1-2n}{2n} \geq 0 \\ \frac{-n+1}{2n} \geq 0 [/tex]

2n est supérieur à 0 pour tout n
-n+1>0
lorsque n<1

Ainsi , notre suite est croissante pour n compris entre 0 et 1, puis décroissante

Cordialement
RML
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