1) on pose BM = x. Quel est l'ensemble des valeurs possibles de x
0 ≤ x ≤ 10
2) a) calculer les distances BC , MP et AP en détaillant le raisonnement et le calcul
ABC triangle rectangle en A ⇒ application du théorème de Pythagore
BC² = AB² + AC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
⇒ BC = √100 = 10 cm
Calcule de MP
(MP) ⊥ (AB) et (AC) ⊥ (AB) ⇒ donc (MP) // (AC)
⇒ application du théorème de Thalès
BM/BC = MP/AC ⇒ MP = BM * AC/BC = x * 6/10 = 3 x/5
⇒ MP = 3/5) x
Calcule de AP
BP/BA = BM/BC ⇒ BP = BA * BM/BC = 8 * x/10 = 4/5) x
AB = AP + BP ⇒ AP = AB - BP = 8 - (4/5) x
⇒ AP = 8 - (4/5) x
b) Exprimer l'aire f (x) du rectangle APMQ en fonction de x
f ( x) = 3/5) x * (8 - (4/5) x) = 24/5) x - 12/25) x² = 12/5( 2 x - x²/5)
3) déterminer le tableau de variation de la fonction f
f ' (x) = 24/5 - (24/25) x ⇒ f ' (x) = 0 = 24/5 - (24/25) x
⇒ x = 24 * 25/24*5 = 5
f(5) = 24/5) (5) - 12/25) (5)² = 24 - 12 = 24
x 0 5 10
f (x) 0 →→→→→ 24 →→→→→ 0
croissante décroissante
4) où doit-on placer le point M sur le segment BC pour que l'aire du rectangle APMQ soit maximale
l'aire de APMQ est représentée par la fonction f (x)
le point M doit être placé à x = 5 pour que l'aire du rectangle APMQ soit maximale = 24 cm²
