P(x) = 3 x³ + 4 x² - x - 2
1) montrer que P(-1) est une racine de P
-1 est une racine de P si P(-1) = 0
P(-1) = 3(-1)³ + 4(-1)² - (-1) - 2
= - 3 + 4 +1 - 2
= 5 - 5 = 0
2) déterminer les nombres réels a, b , c
P(x) = (x+ 1)(ax²+bx+c)
= ax³ + bx² + cx + ax² + bx + c
= a x³ + (b+a) x² + (b+c) x + c
a = 3
a+b = 4
b+c = - 1 ⇒ b = 1
c = - 2
P(x) = (x+1)(3 x² + x - 2)
3) déterminer par le calcul toutes les racines de P
P(x) = (x+1)(3 x² + x - 2) = 0 ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 ou 3 x² + x - 2 = 0
Δ = 1 + 24 = 25 ⇒√25 = 5
x1 = - 1 + 5)/6 = 4/6 = 2/3
x2 = - 1 - 5)/6 = -6/6 = - 1
il y a une racine double x = - 1 et x = 2/3
4) dresser le tableau de signe de P
x - ∞ - 1 2/3 + ∞
x+1 - 0 + +
3x²+ x - 2 + 0 - 0 +
P(x) - 0 - 0 +
