Bonjour;
Exercice n° 76 .
Partie A . g(x) = 2x³ - 3x² - 1 .
1)
Calculons g'(x) .
g'(x) = 6x² - 6x = 6x(x - 1) .
g' s'annule pour x = 0 et x = 1 ; donc g deux
extermums g(0) = - 1 et g(1) = - 2 .
Si x ∈ ] - ∞ ; 0[ ∪ ] 1 ; + ∞ [ ; g' est strictement positive ;
donc g est strictement croissante .
Si x ∈ ]0 ; 1 [ ; g' est strictement croissante ; donc g est
strictement décroissante .
2)
On a lim(x --> - ∞) g(x) = lim(x --> - ∞) 2x³ - 3x² - 1
= lim(x --> - ∞) 2x³ = - ∞ .
g est continue et strictement croissante sur ] - ∞ ; 0 [
donc : g(] - ∞ ; 0 [) = ] lim(x --> - ∞) g(x) ; g(0) [ = ] - ∞ ; - 1 [ ;
donc : g ne s'annule pas sur ] - ∞ ; 0 [ .
g est continue et strictement décroissante sur ]0 ; 1 [
donc : g(] 0 ; 1 [) = ] g(1) ; g(0) [ = ] - 2 ; - 1 [ ;
donc : g ne s'annule pas sur ] 0 ; 1 [ .
On a lim(x --> + ∞) g(x) = lim(x --> + ∞) 2x³ - 3x² - 1
= lim(x --> + ∞) 2x³ = + ∞ .
g est continue et strictement décroissante sur ] 1 ; + ∞ [ ;
donc g est une fonction bijective
et g(] 1 ; + ∞ [) = ] g(1) ; lim(x --> + ∞) g(x) [ = ] - 2 ; + ∞ [ ;
donc en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires
g s'annule en un point "a" appartenant à ] 1 ; + ∞ [ qui est
unique car g est bijective .
