Réponse :
Explications étape par étape
1)
Pour tout x, [tex](x^2+1)>0[/tex] donc [tex]\sqrt{x^2+1}[/tex] est bien défini sur [tex]\mathbb{R}[/tex]. Ainsi f est définie sur [tex]\mathbb{R}
2)
Sur [tex][0,+\infty[[/tex], [tex]x>0\text{ et }\sqrt{x^2+1}>0\Rightarrow f(x)=x+\sqrt{x^2+1}>0\\[/tex]
3a)
[tex](x+\sqrt{x^2+1})(-x+\sqrt{x^2+1})= (\sqrt{x^2+1})^2-x^2=x^2+1-x^2=1\\[/tex]
(on a utilisé l'identité remarquable a²-b²=(a+b)(a-b) )
[tex](x+\sqrt{x^2+1})(-x+\sqrt{x^2+1})>0\\[/tex]
3b)
[tex]\text{Pour}\ x\in]-\infty; 0]\\(x+\sqrt{x^2+1})(-x+\sqrt{x^2+1})=f(x)(|x|+\sqrt{|x|^2+1} >0\\\Rightarrow f(x)f(|x|)>0[/tex]
Et comme nous savons que [tex]f(|x|)[/tex] est positif car |x| est positif, on en déduit que f(x) est positif quand x est négatif
4a)
[tex]f(a)=a+\sqrt{a^2+1}\\f(-a)=-a+\sqrt{a^2+1}\\[/tex]
un vecteur directeur de la droite AB est donc :
[tex](x_b-x_a ; y_b-y_a)=((-a)-a;(-a+\sqrt{a^2+1})-(a+\sqrt{a^2+1}))\\=(-2a;-2a)\\[/tex]
Ce vecteur est bien colinéaire à un vecteur directeur de la droite x-y=0 : (1;1)
Rappel : ax+by+x=0 ==> vecteur directeur (-b ; a)
