Réponse : 1) Le taux d'accroissement en [tex]x=a[/tex] est:
[tex]\lim_{h \mapsto 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} =\lim_{h \mapsto 0} \frac{\frac{1}{4}(a+h)^{2}+2-(\frac{1}{4} a^{2}+2) }{h} =\frac{\frac{1}{4}(a^{2}+2ah+h^{2})+2-\frac{1}{4}a^{2}-2 }{h} \\\lim_{h \mapsto 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =\lim_{h \mapsto 0} \frac{\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{2}ah+\frac{1}{4} h^{2}-\frac{1}{4}a^{2} }{h} =\lim_{h \mapsto 0} \frac{\frac{ah}{2}+\frac{h^{2}}{4} }{h} =\lim_{h \mapsto 0}\frac{\frac{2ah+h^{2}}{4} }{h} \\[/tex]
[tex]\lim_{h \mapsto 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =\lim_{h \mapsto 0}\frac{2ah+h^{2}}{4h} =\lim_{h \mapsto 0}\frac{h(2a+h)}{h(4)} =\lim_{h \mapsto 0}\frac{2a+h}{4}[/tex]
Et [tex]\lim_{h \mapsto 0}\frac{2a+h}{4} =\frac{2a}{4} =\frac{1}{2} a[/tex]
b) Par définition [tex]\lim_{h \mapsto 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =f'(a)[/tex], d'où [tex]f'(a)=\frac{1}{2} a[/tex]
