Réponse :
on cherche les possibilités
Explications étape par étape
peut-on avoir n +3 = 2(n-5) ?
c'est à dire n+3 = 2n -10 n= 13 oui
n+3 = 3(n-5) = 3n - 15 donc 2n=18 n= 9 oui
n+3= 4(n-5) = 4n - 20 donc 3n= 23 impossible
n+3 = 5(n-5)=5n-25 donc 4n= 28 n= 7 oui
n+3=6(n-5) =6n-30 donc 5n= 33 non
n+3=7(n-5)= 7n-35 6n= 38 non
n+3=8(n-5)=8n-40 7n= 43 non
n+3=9(n-5)= 9n-45 8n= 48 n= 6
ce qui est la plus petite valeur possible donc n=6 ; 7 ; 9 ; 13
b) n² + n +16 = (n-1)² + 3 n +15
pour que n-1 divise (n-1)² + 3 n +15 il faut que n-1 divise 3n +15
3n+15=k(n-1) = 3(n+5)
donc ou k est multiple de 3 ou n-1 est multiple de 3
si k=3p 3p(n-1)=3(n+5) p(n-1)= n+5
n=2 p=7 n=3 2p=8 p=4
n=4 3p=9 p=3
n=5 4p=10 non
n=6 5p=11 non
n=7 6p=12 p=2 c'est le minimum donc on a déjà
n=2;4;7
si n-1= 3p alors 3(3p+1+5)=3kp donc 3p+6 = kp
3(p+2)= kp
soit k est multiple de 3 (cas précédent)
soit p est multiple de 3
p=3t 3(3t+2)= k(3t) 3t+2 = kt
t(k-3)= 2 on ne peut avoir que t=2 donc p=6 donc n-1=18 n=19
ou t=1 p=3 n-1= 9 n=10
ce qui rajoute 10 et 19
