Réponse :
1) montrer que le coût de production C(x) de x objets est
C(x) = x² - 10 x + 900
C(x) = x * Cu(x) = x(x - 10 + 900/x) = x² - 10 x + 900
2) quel est le coût marginal associé à la fabrication de 55 objets
Cm(x) = C(x+1) - C(x)
C(x) = x² - 10 x + 900
C(x+1) = (x+1)² - 10(x+1) + 900
= x²+2 x + 1 - 10 x - 10 + 900
= x² - 8 x + 891
Cm(x) = x² - 8 x + 891 - (x² - 10 x + 900)
= x² - 8 x + 891 - x² + 10 x - 900
= 2 x - 9
Cm(x) = 2 x - 9 ⇒ Cm(55) = 2*55 - 9 = 101 €
3) calculer C'(55) et le comparer à Cm(55)
C(x) = x² - 10 x + 900 ⇒ C '(x) = 2 x - 10
C '(55) = 2 *55 - 10 = 100 €
on a : C ' (55) ≈ Cm(55)
4) déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe de C au point
E(55 ; C(55))
l'équation de la tangente (T) est : y = C (55) + C '(55)(x - 55)
or C '(55) = 100
C (55) = 3025 - 550 + 900 = 3375
y = 3375 + 100(x - 55)
= 3375 + 100 x - 5500
= 100 x - 2125
L'équation de la tangente (T) est : y = 100 x - 2125
Déterminer une équation de la droite (D) passant par les points
E(55 ; C(55)) et F(56 ; C(56))
C(56) = 3136 - 560 + 900 = 3476
L'équation de la droite (D) est : y = a x + b
a : coefficient directeur = [C(56) - C(55)]/(56 - 55) = (3476 - 3376)/1
a = 100
On cherche b l'ordonnée à l'origine
y = 100 x + b
3376 = 100 * 55 + b ⇒ b = 3376 - 5500 = 2124
L'équation de la droite (D) est : y = 100 x - 2124
b) que pouvez vous dire de la droite (D) par rapport à la tangente (T)
la droite (D) et la tangente (T) sont pratiquement les mêmes
b ≈ b' ≈ 2125
qu'en déduisez-vous pour leur coefficient directeur ?
la droite (D) et la tangente (T) ont le même coefficient directeur a = a' = 100 donc (D) est parallèle à (T)
conclure : la droite (D) et la tangente (T) sont confondues, car les ordonnées à l'origines sont presque identiques
5) montrer que le bénéfice réalisé pour x objet est : B(x) = - x²+110 x - 900
B(x) = R(x) - C(x)
= 100 x - (x² - 10 x + 900)
= 100 x - x² + 10 x - 900
= - x² + 110 x - 900
6) pour quelle quantité d'objets fabriqués, ce bénéfice est-il maximal ?
Quelle est alors ce bénéfice
il faut calculer la dérivée B ' de la fonction B
B '(x) = - 2 x + 110 ; donc B '(x) = 0 = - 2 x + 110 ⇒ x = 110/2 = 55
le bénéfice maximal est : B(55) = - 55² + 110*55 - 900
= - 3025 + 6050 - 900 = 2125
le bénéfice est de : 2125 €
je vous laisse tracer le graphe
Explications étape par étape